平行线

在欧几里得空间中，直线的 方向向量 是一个单位向量 b {\displaystyle b} ，使得原点到直线上所有点的向量都能表示为 a + λ λ --> b , λ λ --> ∈ ∈ --> R {\displaystyle a+\lambda b,\ \lambda \in \mathbb {R} } 。若干个由方向向量 v 1 , v 2 , ⋯ ⋯ --> , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}} 确定的直线相互平行当且仅当这些向量 全部相等 或只差一个正负号。

在欧几里得空间中，平面的 法向量 是一个单位向量 e {\displaystyle e} ，使得平面上所有的向量都与 e {\displaystyle e} 垂直。直线与平面平行当且仅当直线不属于平面，并且直线的方向向量与平面的法向量 垂直 。而平面与平面相互平行当且仅当它们的法向量相等或只差一个正负号。

平面解析几何中的平行

在笛卡儿坐标系中，设两条直线的表达式为：

那么两条直线 ( D 1 ) {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1})} 与 ( D 2 ) {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2})} 平行当且仅当 a 1 b 2 = b 1 a 2 {\displaystyle a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2}} ，并且 a 1 c 2 ≠ ≠ --> c 1 a 2 {\displaystyle a_{1}c_{2}\neq c_{1}a_{2}} （否则两直线重合）。

角度关系

平面上，用一条直线截另外两条直线线时，会截出两个交点，构成八个角，称为 三线八角 。这八个角中有对顶角、同位角、同旁内角、同旁外角、内错角和外错角这几种关系。当所截的两条直线平行时，这些角有相等或互为补角（相加等于180°度）的关系。这些角度关系对解决平面几何问题十分有用。

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