定义

拓扑空间 ( X , τ τ --> ) {\displaystyle (X,\tau )} 的子集 S {\displaystyle S} 的 边界 （记为 ∂ ∂ --> S {\displaystyle \partial S} ）有一些常用及等价的定义:

S {\displaystyle S} 的闭包减去 S {\displaystyle S} 的内部： ∂ ∂ --> S = S ¯ ¯ --> − − --> S o {\displaystyle \partial S={\bar {S}}-S^{o}} 。

S {\displaystyle S} 的闭包和其补集的闭包的交集： ∂ ∂ --> S = S ¯ ¯ --> ∩ ∩ --> ( X − − --> S ) ¯ ¯ --> {\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}} 。

∂ ∂ --> S {\displaystyle \partial S} 是所有满足以下条件的点 x {\displaystyle x} 的集合： x {\displaystyle x} 的每个邻域都包含至少一个点属于 S {\displaystyle S} ，且至少一个点不属于 S {\displaystyle S} 。这些点称为 S {\displaystyle S} 的 边界点 。

性质

集合的边界是闭集。

p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。

某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。

某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。

某集合的边界等于其补集的边界。

某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。

某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例

若 X = [ 0 , 5 ) {\displaystyle X=[0,5)\,} ，则 ∂ ∂ --> X = { 0 , 5 } {\displaystyle \partial X=\{0,5\}} 。

∂ ∂ --> B ¯ ¯ --> ( a , r ) = B ¯ ¯ --> ( a , r ) − − --> B ( a , r ) {\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}

∂ ∂ --> D n ≃ ≃ --> S n − − --> 1 {\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}

∂ ∂ --> ∅ ∅ --> = ∅ ∅ --> {\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }

在 R 中，若 Ω= x + y ≤ 1，则 ∂Ω = Ω；但在 R 中，∂Ω = {( x , y ) | x + y = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。

引用

J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9.

S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.

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