导引

让我们简略的解释，含时摄动理论的狄拉克表述，其背后的点子。先为零摄动系统选择一个能量本征态的正交基|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle {|n\rangle }} 。这些本征态与时间无关。

假若，在时间 t=0{\displaystyle t=0} ，零摄动系统处于本征态 |j⟩ ⟩ -->{\displaystyle |j\rangle } 。那么，随着时间流逝，这系统的量子态可以表达为（采用薛定谔绘景：量子态随着时间流逝而演化，而对应于可观算符的算符则与时间无关）

其中，Ej{\displaystyle E_{j}} 是本征态 |j⟩ ⟩ -->{\displaystyle |j\rangle } 的能级，ℏ ℏ -->{\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数。

现在，添加一个含时间的哈密顿量摄动 V(t){\displaystyle V(t)} 。包括摄动系统在内的哈密顿量 H{\displaystyle H} 是

标记 |ψ ψ -->(t)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi (t)\rangle } 为含摄动系统在时间 t{\displaystyle t} 的量子态。它遵守含时薛定谔方程:

在任何时间，量子态可以表达为本征态的线性组合：

其中，cn(t){\displaystyle c_{n}(t)} 是复函数，称为幅度。在这里，我们显性地表示出公式右手边的相位因子e− − -->iEnt/ℏ ℏ -->{\displaystyle e^{-iE_{n}t/\hbar }} 。这只是为了便利因素。并不会因此而失去一般性。

假若系统的初始量子态是 |j⟩ ⟩ -->{\displaystyle |j\rangle } ，而又没有摄动作用，则幅度会有很理想的性质：随着时间的演化，

回思公式 (3) ，幅度 cn(t){\displaystyle c_{n}(t)} 的绝对平方是 |ψ ψ -->(t)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi (t)\rangle } 在时间 t{\displaystyle t} 处于本征态 |n⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n\r概率gle } 的概率：

将公式 (1) 与 (3) 代入含时薛定谔方程 (2) ，可以得到

由于 H0|n⟩ ⟩ -->=En|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } ，这公式左手边的 H0{\displaystyle H_{0}} 项目于右手边的 En{\displaystyle E_{n}} 项目相抵销。所以，

将 ⟨ ⟨ -->m|{\displaystyle \langle m|} 内积于这公式两边，可以得到一组联立的偏微分方程：

矩阵元素 ⟨ ⟨ -->m|V(t)|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle m|V(t)|n\rangle } 的角色，影响到量子态的幅度改变的速率 ∂ ∂ -->cm∂ ∂ -->t{\displaystyle {\frac {\partial c_{m}}{\partial t}}} 。可是，注意到这迁移内中含有一个相位因子。经过一段超久于 ℏ ℏ -->/(En− − -->Em){\displaystyle \hbar /(E_{n}-E_{m})} 的间隔时间，相位会转绕很多圈次。

一直到此，我们尚未尝试取近似值。所以，这一组偏微分方程仍旧是精确的。通过给予初始值 cn(0){\displaystyle c_{n}(0)} ，原则上，我们可以找到（非摄动的）精确解。对于双态系统，只有两个能级 (n=1,2{\displaystyle n=1,\,2}) 的量子系统，可以很容易的找到答案。而且，很多量子系统，像氨分子，氢分子离子(Hydrogen molecular ion) ，苯分子等等，都可以用双态系统模型来分析。但是对于更多能级的系统，找到精确解是非常困难的。我们只好寻找摄动解。我们可以用积分式来表达幅度：

重复的将 cn(t){\displaystyle c_{n}(t)} 的表达式代入这公式的右手边，可以得到一个迭代解：

其中，举例而言，一阶项目是

应用含时摄动理论，可以得到更多进一步的结果，像费米黄金律(Fermi"s golden rule) 或戴森级数 (Dyson series) 。费米黄金律计算，因为含时摄动，从某个能量本征态发射至另外一个能量本征态的跃迁率。通过应用上述迭代法于时间演化算符，可以得到戴森级数。这是费曼图方法的起点之一。

参阅

双态系统

吸收

自发射 (spontaneous emission)

受激发射(stimulated emission)

拉比问题 (Rabi problem)

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