数学性质

幂数的质因数分解中，各质因数指数均大于1。

幂数的倒数的和为

其中

若用 k ( x )来表示当1≤ n ≤ x 时，幂数 n 的个数，则 k 满足以下的不等式

。

佩尔方程 x -8 y =1有无限多个正整数解，因此存在无限多组连续的幂数（若 x 、 y 为正整数解，则 x 及8 y 即为二个连续的幂数），其中最小的是8和9 。而8和9恰好也是唯一一组连续的次方数（卡塔兰猜想，后来已被数学家普雷达·米哈伊列斯库证明）。

幂数的和与差

每一个奇数都可以表示为二个连续数字的平方的差：( k + 1) = k + 2k +1 ，因此 ( k + 1) - k = 2 k + 1。而每一个4的倍数都可以表示为二个彼此差2的正整数，其平方的差：( k + 2) - k = 4 k + 4。以上数字均可表示为二平方数的差，因此可就是二个幂数的差。

但无法被4整除的偶数（即 奇偶数 （ 英语 ： Singly even number ） ）无法表示为二个平方数的差，但不确定是否可表示为二个幂数的差，然而Golomb发现以下的等式

以上的等式未包括6，Golomb猜想有无穷多个奇偶数无法表示为二个幂数的差，不过后来Narkiewicz发现6也可以表示为二个幂数的差：

而且可以找到无限多组的幂数，二个幂数之间的差为6。而McDaniel证明每个整数都有无限多组表示为二个幂数的差的方法 。

保罗·艾狄胥猜想每一个足够大的整数均可表示为最多三个幂数的和，后来由Roger Heath-Brown证实了保罗·艾狄胥的猜想 。

一般化

幂数的质因数分解中，所有的指数均不小于2。以此概念再延伸，若一整数的质因数分解中，所有的指数均不小于 k ，可称为 k -幂数。

是由k-幂数所组成的等差数列，若 a 1 , a 2 , ..., a s 是由 k -幂数所形成的等差数列，公差为d，则

则是由 s +1个项 k -幂数所组成的等差数列。

以下是一个有关 k -幂数的恒等式：

因此可以找到无穷多组的 k -幂数，其个数为 n +1个，而这些 k -幂数的和也是 k -幂数。Nitaj证明了存在无穷多组互质的3-幂数 x 、 y 、 z ，满足 x + y = z 的形式 。Cohn找到一个可产生无穷多组互质，且非立方数的3-幂数 x 、 y 、 z ，可满足 x + y = z 的方法：以下的数组

是方程式32 X + 49 Y = 81 Z 的解（因此32 X 、49 Y 及81 Z 即为上述的3-幂数数组）。令 X ′= X (49 Y + 81 Z ), Y ′ = − Y (32 X + 81 Z ), Z ′ = Z (32 X − 49 Y )，再除以其最大公因数即为一组新的解。

関连项目

阿喀琉斯数

次方数

延伸阅读

J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440.[1]

P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7 (1934), 95--102.

Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory , Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.

D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7 , Birkhäuser, Boston, 1988.

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