实数集合的下确界

在数学分析中，实数的子集 S 的下确界或最大下界被指示为 inf(S)，并被定义为小于等于在 S 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在（因为 S 没有下界），则我们定义 inf(S) = −∞。如果 S 是空集，我们定义 inf(S) = ∞（参见扩展的实数轴）。

实数的一个重要性质是实数的所有集合都有下确界（实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界）。

例子：

如果一个集合有最小元素，如同第一个例子，则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的，几个集合的下确界不一定属于这个集合。

下确界的概念和上确界在如下意义上是对偶的

这里的 − − -->S={− − -->s|s∈ ∈ -->S}{\displaystyle -S=\{-s|s\in S\}}。

一般的说，为了证明 inf(S) ≥ A，你只需要证明对于所有 S 中的 x 有 x ≥ A。证明 inf(S) ≤ A 有点难：对于任何 ε > 0，你必须展示 S 中的一个元素 x 有着 x ≤ A + ε（当然，如果你能找到 S 中一个元素 x 有着 x ≤ A 马上就成了）。

参见：下极限。

在偏序集合内的下确界

下确界的定义容易推广到任何偏序集合的子集上，并在序理论中扮演关键性角色。在序理论中，特别是格理论中，最大下界也叫做交。

形式的说，偏序集合（P，≤）的子集 S 的下确界是 P 的一个元素 l 使得

对于所有 S 中的 x 有 l ≤ x，

对于任何 P 中的 p，如果对于所有 S 中的 x 有 p ≤ x 则 p ≤ l。

有这些性质的任何元素必然是唯一的，但是一般的这种元素不一定存在。因此已知特定下确界存在的次序就变得特别有价值。详情请参见完备性。

参见

偏序集

下界

最大元

最小上界

本性下确界

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