正式表述

乌雷松引理说明， X 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要 A 和 B 是 X 的不交闭子集，就存在一个从 X 到单位区间[0, 1]的连续函数：

使得对于所有 A 内的 a ，都有 f ( a ) = 0，而对于所有 B 内的 b ，都有 f ( b ) = 1。

任何满足这个性质的函数 f 都称为 乌雷松函数 。

注意在以上的表述中，我们并不需要 f ( x ) ≠ 0和≠ 1，对于 A 和 B 外部的 x 。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如“吉洪诺夫性质”和“完全豪斯多夫空间”的表述。例如，这个引理的一个推论是，正规的T 1 空间是吉洪诺夫空间。

证明

乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数 r ∈ (0,1)，我们将构造 X 的一个开子集 U ( r )，使得：

U ( r )包含 A ，且对于所有的 r ， U ( r )都与 B 不交；

对于 r < s ， U ( r 闭包的闭包位于 U ( s )内。

有了这些集合以后，我们便定义 f ( x ) =inf{ r : x ∈ U ( r ) }对于所有的 x ∈ X 。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 f 是连续的，且具有性质 f ( A ) ⊆ {0}和 f ( B ) ⊆ {1}。

为了构造集合 U ( r )，我们还需要做更多事情：我们构造集合 U ( r )和 V ( r )，使得：

对于所有的 r ，都有 A ⊆ U ( r )且 B ⊆ V ( r )；

对于所有的 r ， U ( r )和 V ( r )都是开集和不交的；

对于 r < s ， V ( s )包含在 U ( r )的补集之内，而 V ( r )的补集包含在 U ( s )之内。

由于 V ( r )的补集是闭集，且含有 U ( r )，因此从最后一个条件可以推出上面的条件(2)。

我们使用数学归纳法。由于 X 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集 U (1/2)和 V (1/2)，分别含有 A 和 B 。现在假设 n ≥1，且集合 U ( a /2 )和 V ( a /2 )对于 a = 1,...,2 -1已经构造了。由于 X 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有 V ( a /2 )的补集和 U (( a +1)/2 )的补集。称这两个开集为 U ((2 a +1)/2 )和 V ((2 a +1)/2 )，并验证以上的三个条件成立。

参考文献

PlanetMath上proof of Urysohn"s lemma的资料。

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