数学表述

用数学来表述，波动方程为

其中，f(x,t){\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)} 是描述波动的函数，∇ ∇ -->2{\displaystyle \nabla ^{2}} 是拉普拉斯算符，v{\displaystyle v} 是波动速度的速度，x{\displaystyle \mathbf {x} } 是位置，t{\displaystyle t} 是时间。

描述平面波的函数ψ ψ -->~ ~ -->(x,t){\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)} 是波动方程的一种解答：

平面波 ψ ψ -->~ ~ -->(x,t){\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)} 的形式为：

其中，i{\displaystyle i} 是虚数单位，k{\displaystyle \mathbf {k} } 是波矢，ω ω -->=kv{\displaystyle \omega =kv} 是角频率，A~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {A}}} 是复值的振幅标量。

取复函数的实部，则可以得到其物理意义。

注意到在任意时刻 t=t0{\displaystyle t=t_{0}} ，波相位不变的曲面满足方程

或者，

其中，c1{\displaystyle c_{1}} 、c2{\displaystyle c_{2}} 是任意常数。

所有满足这方程的 x{\displaystyle \mathbf {x} } 形成一个与 k{\displaystyle \mathbf {k} } 相互垂直的平面，平行波的波前就是这种平面，所有的波前都与 k{\displaystyle \mathbf {k} } 相互垂直，都相互平行。

对于矢量的波动方程，像描述在弹性固体内的机械波或电磁波的波动方程：

其中，E{\displaystyle \mathbf {E} } 是电场，B{\displaystyle \mathbf {B} } 是磁场;

解答也很类似：

其中，A~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}} 是复值的振幅矢量。

横波的振幅矢量垂直于波矢，像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅矢量平行于波矢，像传播于气体或液体的声波。

传播于某介质内，角频率与波矢之间的关系，可以以函数 ω ω -->(k){\displaystyle \omega (\mathbf {k} )} 表达，称为介质的色散关系。对于这介质相速度相速度是

群速度是

参考文献

J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。

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