两个张量的张量积

有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 U 消耗第一个 rank(U) 指标，而因子 V 消耗下一个 rank(V) 指标，所以

例子

设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 Uβ；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 V。则

而

张量积继承它的因子的所有指标。

两个矩阵的克罗内克积

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 U {\displaystyle U} 和 V {\displaystyle V} :

多重线性映射的张量积

给定多重线性映射 f ( x 1 , … … --> , x k ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})} 和 g ( x 1 , … … --> , x m ) {\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})} 它们的张量积是多重线性函数

向量空间的张量积

在域 K {\displaystyle K} 上的两个向量空间V 和 W 的张量积 V ⊗ ⊗ --> W {\displaystyle V\otimes W} 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 v ⊗ ⊗ --> w {\displaystyle v\otimes w} 。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 V ⊗ ⊗ --> W {\displaystyle V\otimes W} ，采用在 K {\displaystyle K} 之上带有基 V × × --> W {\displaystyle V\times W} 的向量空间，并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系:

( v 1 + v 2 ) ⊗ ⊗ --> w = v 1 ⊗ ⊗ --> w + v 2 ⊗ ⊗ --> w {\displaystyle (v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w}

v ⊗ ⊗ --> ( w 1 + w 2 ) = v ⊗ ⊗ --> w 1 + v ⊗ ⊗ --> w 2 {\displaystyle v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}}

c v ⊗ ⊗ --> w = v ⊗ ⊗ --> c w = c ( v ⊗ ⊗ --> w ) {\displaystyle cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)}

这里的 v , v i , w , w i {\displaystyle v,v_{i},w,w_{i}} 是来自适当空间的向量，而 c {\displaystyle c} 来自底层域 K {\displaystyle K} 。

我们可以推出恒等式

零在 V ⊗ ⊗ --> W {\displaystyle V\otimes W} 中。

结果的张量积 V ⊗ ⊗ --> W {\displaystyle V\otimes W} 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基 { v i } {\displaystyle \{v_{i}\}} 和 { w i } {\displaystyle \{w_{i}\}} ，形如 v i ⊗ ⊗ --> w j {\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}} 的张量形成 V ⊗ ⊗ --> W {\displaystyle V\otimes W} 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 R m ⊗ ⊗ --> R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}} 有维数 m n {\displaystyle mn} 。

张量积的泛性质

张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自

的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对 (X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W → X，则存在一个唯一的线性映射

使得

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射

和线性映射

的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。

希尔伯特空间的张量积

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

定义

设 H 1 {\displaystyle H_{1}} 和 H 2 {\displaystyle H_{2}} 是两个希尔伯特空间，分别带有内积 〈 〈 --> ⋅ ⋅ --> , ⋅ ⋅ --> 〉 〉 --> 1 {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}} 和 〈 〈 --> ⋅ ⋅ --> , ⋅ ⋅ --> 〉 〉 --> 2 {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}} 。构造 H1 和H2 的张量积 H 1 ⊗ ⊗ --> ^ ^ --> H 2 {\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}} 如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积 H = H 1 ⊗ ⊗ --> H 2 {\displaystyle H=H_{1}\otimes H_{2}} 。 H 1 {\displaystyle H_{1}} 和 H 2 {\displaystyle H_{2}} 上的内积自然地扩展到 H {\displaystyle H} 上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义

其中 ϕ ϕ --> 1 , ψ ψ --> 1 ∈ ∈ --> H 1 {\displaystyle \phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}} 和 ϕ ϕ --> 2 , ψ ψ --> 2 ∈ ∈ --> H 2 {\displaystyle \phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}} 即可。

现在 H {\displaystyle H} 是一未必完备的内积空间。将 H {\displaystyle H} 完备化，得到希尔伯特空间 H 1 ⊗ ⊗ --> ^ ^ --> H 2 {\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}} ，这就是 H1 和 H2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中， H 1 ⊗ ⊗ --> ^ ^ --> H 2 {\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}} 具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。

性质

如果 H1 和 H2 分别有正交基{φk} 和 {ψl}，则 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。

与对偶空间的关系

在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 ( V ⊗ ⊗ --> W ) ⋆ ⋆ --> {\displaystyle (V\otimes W)^{\star }} ( V ⊗ ⊗ --> W {\displaystyle V\otimes W} 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函)，它自然的同一于在 V × × --> W {\displaystyle V\times W} 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 V {\displaystyle V} 和 W {\displaystyle W} 是有限维的，在 V ⋆ ⋆ --> ⊗ ⊗ --> W ⋆ ⋆ --> {\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }} 和 ( V ⊗ ⊗ --> W ) ⋆ ⋆ --> {\displaystyle (V\otimes W)^{\st同构 }} 之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 V ⋆ ⋆ --> ⊗ ⊗ --> W ⋆ ⋆ --> ⊂ ⊂ --> ( V ⊗ ⊗ --> W ) ⋆ ⋆ --> {\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W)^{\star }} 。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

参见

外积

并矢积

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