量子色动力学范例

假设上夸克u{\displaystyle u} 与下夸克d{\displaystyle d} 的质量为零，则这两个夸克组成的物理系统的拉格朗日量为

其中，u{\displaystyle u} 与 d{\displaystyle d} 分别为上夸克与下夸克的狄拉克旋量（Dirac spinor），u¯ ¯ --> =def u† † -->γ γ -->0{\displaystyle {\overline {u}}\ {\stackrel {def}{=}}\ u^{\dagger }\gamma ^{0}} 与 d¯ ¯ --> =def d† † -->γ γ -->0{\displaystyle {\overline {d}}\ {\stackrel {def}{=}}\ d^{\dagger }\gamma ^{0}} 分别为它们的伴随旋量，⧸D{\displaystyle \displaystyle {\not }D} 是协变导数，γ γ -->0{\displaystyle \gamma ^{0}} 是第零个狄拉克矩阵。

狄拉克旋量 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 可以按照手征性分解为左手狄拉克旋量 ψ ψ -->L{\displaystyle \psi _{L}} 与右手狄拉克旋量 ψ ψ -->R{\displaystyle \psi _{R}} ︰

其中，γ γ -->5{\displaystyle \gamma ^{5}} 是第五个狄拉克矩阵，(1∓ ∓ -->γ γ -->5)/2{\displaystyle (1\mp \gamma ^{5})/2} 是投影算符，可以挑选出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。

拉格朗日量以左手狄拉克旋量与右手狄拉克旋量表示为

定义狄拉克旋量二重态为

重写狄拉克旋量为

分别对 qL{\displaystyle q_{L}} 、qR{\displaystyle q_{R}} 用2 x 2 么矩阵 L、R做旋转变换，则拉格朗日量不变。这种对称性称为“手征对称性”。这种变换为U(2)L× U(2)R变换，可以分解为SU(2)L×SU(2)R×U(1)V×U(1)A变换。

U(1)V变换的方式为

拉格朗日量对于这变换的对称性关系到强子数量守恒。

U(1)A变换的方式为

拉格朗日量对于U(1)A变换的对称性在量子层级被打破，这是一个明显对称性破缺，这结果称为U(1)轴反常。

剩下的手征对称性SU(2)L×SU(2)R会因夸克凝聚被自发打破为矢量子群SU(2)V，称为同位旋。根据戈德斯通定理，当连续对称性被自发打破后必会生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子。手征对称性也是连续对称性，它的戈德斯通玻色子是π介子。对应于这三个生成子的戈德斯通玻色子为π介子。实际而言，由于上夸克与下夸克的质量都很微小。SU(2)L×SU(2)R只是一个近似对称性。因此，π介子具有些微质量，是准戈德斯通玻色子（pseudo-Goldstone boson）。

参阅

手征对称性破缺

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