常见定义

设Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }为欧几里得空间Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中的一个开集。设f:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }是一个勒贝格可测函数。如果函数f{\displaystyle f}在任意紧集K⊂ ⊂ -->Ω Ω -->{\displaystyle K\subset \Omega }上的勒贝格积分都存在：

那么就称函数f{\displaystyle f}为一个Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }-局部可积的函数。所有在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上局部可积的函数的集合一般记为Lloc1(Ω Ω -->){\displaystyle \scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )}：

其中P0(Ω Ω -->){\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}}指Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间

对于更一般的测度空间(X,dμ μ -->){\displaystyle (X,d\mu )}，也可以类似地定义其上的局部可积函数。

性质

所有Ω Ω -->{\displaystyle \Omega 连续函数续函数与可积函数都是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }-局部可积的函数。如果Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是有界的，那么Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的L2函数也是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }-局部可积的函数。

局部可积函数都是几乎处处有界的函数(X,dμ μ -->){\displaystyle (X,d\mu )}，也可以类似地定义其上的局部可积函数。

复数值的函数f{\displaystyle f}是局部可积函数，当且仅当其实部函数 Re(f):x→ → -->Re(f(x)){\displaystyle Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)}与虚部函数 Im(f):x→ → -->Im(f(x)){\displaystyle Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)}都是局部可积函数。实数值的函数f{\displaystyle f}是局部可积函数，当且仅当其正部函数 f+:x→ → -->(f(x))+{\displaystyle f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}}与负部函数 f− − -->:x→ → -->(f(x))− − -->{\displaystyle f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}}都是局部可积函数。

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