图册卡塔丘塔国家公园卡塔丘塔国家公园

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性质Cn的另一个表达形式为Cn=(2nn)−−-->(2nn+1)forn≥≥-->1{\displaystyleC_{n}={2n\choosen}-{2n\choosen+1}\quad{\mbox{for}}n\geq1}所以，Cn是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。（见下文的第二个证明。）递推关系它也满足这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。卡塔兰数的渐近增长为它的含义是当n→∞时，左式除以右式的商趋向于1。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）所有的奇卡塔兰数Cn都满足n=2k−−-->1{\displaystylen=2^{k}-1}。所有其他的卡塔兰数都是偶数。应用组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在RichardP.Stanley的EnumerativeCombinatoric...

脚注

历史起源这种音乐形式起源于文艺复兴时期的意大利北部。1590年代，已经有一批触技曲问世。之后，作曲家将这种音乐形式带到了德国。在那里，触技曲的发展达到了顶峰，其标志为约翰·塞巴斯蒂安·巴哈的d小调触技曲与赋格曲BWV565。巴洛克时期巴洛克时期中最有名的触技曲作家可说是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫。巴赫的触技曲是这种音乐形式中的经典之作。这些管风琴作品都是即兴作品，通常伴随着一段独立的赋格。在这种情况下，触技曲代替了一般的固定的序曲。他的羽管键琴作品通常有多个乐章，由赋格形式写成。浪漫时期巴洛克时期之后,触技曲渐渐减少。在浪漫时期中最有名的触技曲是罗伯特·舒曼和李斯特·费伦茨分别作的触技曲。他们的触技曲被广泛地评为十八世纪中技术最难和最倶代表性。李斯特后期的托卡塔曲极短的和严峻，而且规模较小，有时亦被称为“toc...