罗素悖论

我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设命题函数P(x)表示“x∉x”，现假设由性质P确定一个集合A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A不具有性质P，由命题函数P知A∉A；其次，若A∉A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论等价

理发师悖论和罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

另一种等价的悖论为书目悖论，第一类的书的目录有它自己的条目，经典的例子就是维基百科，第二类的书目录则没有它自己的条目，一般的书目都是如此，问：若把所有第二类的书做个总目录，它应不应该含有它自己的条目？

参考条目

理发师悖论

公理化数学

类的理论

罗素公理体系

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