群的情形

设 G {\displaystyle G} 为群， G {\displaystyle G} 的合成列是对应于一族子群

满足 H i ◃ ◃ --> H i + 1 {\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}} ，使其子商 H i + 1 / H i {\displaystyle H_{i+1}/H_{i}} 皆为非单群的单群；易言之， H i {\displaystyle H_{i}} 是 H i + 1 {\displaystyle H_{i+1}} 的极大正规子群。这些子商也称作 合成因子 。对于有限群，恒存在合成列。

模的情形

固定环 R {\displaystyle R} 及 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 。 M {\displaystyle M} 的 合成列 是一族子模

其中每个子商 J k + 1 / J k {\displaystyle J_{k+1}/J_{k}} 皆为非平凡的单模。易言之， J k {\displaystyle J_{k}} 是 J k + 1 {\displaystyle J_{k+1}} 的极大子模。这些子商也称为 合成因子 。若 R {\displaystyle R} 是阿廷环，根据 Hopkins-Levitzki 定理 ，任何有限生成的 R {\displaystyle R} -模皆有合成列。

例子

例子 . 考虑 12 阶循环群 C 12 {\displaystyle C_{12}} ，它具有三个相异的合成列

合成因子分别为

其间仅差个置换。

若尔当-赫尔德定理

略证 ：以下仅处理模的情形，群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

对 m i n ( r , s ) {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)} 行数学归纳法。若 m i n ( r , s ) = 0 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0} 则 M = 0 {\displaystyle M=0} ，若 m i n ( r , s ) = 1 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1} 则 M {\displaystyle M} 是单模。以下假定 r , s ≥ ≥ --> 2 {\displaystyle r,s\geq 2} 。

若 M r − − --> 1 = M s − − --> 1 {\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}} ，据归纳法假设， r − − --> 1 = s − − --> 1 {\displaystyle r-1=s-1} 且 M i + 1 / M i {\displaystyle M_{i+1}/M_{i}} 与 M i + 1 ′ / M i ′ {\displaystyle M"_{i+1}/M"_{i}} （ 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> r − − --> 2 {\displaystyle 0\leq i\leq r-2} ）之间仅差置换。此外 M / M r − − --> 1 = M / M s − − --> 1 ′ {\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M"_{s-1}} ，故定理成立。

设 M r − − --> 1 ≠ ≠ --> M s − − --> 1 ′ {\displaystyle M_{r-1}\neq M"_{s-1}} 。此时必有 M r − − --> 1 + M s − − --> 1 ′ = M {\displaystyle M_{r-1}+M"_{s-1}=M} 。置 N := M r − − --> 1 ∩ ∩ --> M s − − --> 1 ′ {\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M"_{s-1}} ，于是

取 N {\displaystyle N} 的合成列 { 0 } = K 0 ⊂ ⊂ --> ⋯ ⋯ --> ⊂ ⊂ --> K t = N {\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N} ，依上式知

皆为合成列，其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设，若同删去尾项 M {\displaystyle M} ，则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 M ∙ ∙ --> , M ∙ ∙ --> ′ {\displaystyle M_{\bullet },M"_{\bullet }} 的合成因子，至多差个置换。是故定理得证。

参见

正规列

长度 (模论)

站外连结

O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov,Composition sequence, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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