备注

在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：

如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f | = |g|。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：

||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

参考文献

Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 

Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 

Kuptsov, L.P.,Hölder inequality, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150 

Kuttler, Kenneth,An introduction to linear algebra(PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 

邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 . 

张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 . 

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