相关定理

n{\displaystyle n\,}阶方阵A{\displaystyle A\,}是非奇异方阵的充要条件是A{\displaystyle A\,}可逆，即可逆方阵就是非奇异方阵。

对一个n{\displaystyle n\,}阶方阵A{\displaystyle A\,}，如果存在一个n{\displaystyle n\,}阶方阵B{\displaystyle B\,}使AB=BA=In{\displaystyle AB=BA=I_{n}\,}（In{\displaystyle I_{n}\,}是单位矩阵），则称A{\displaystyle A\,}是可逆的，也称A{\displaystyle A\,}为非奇异矩阵。B{\displaystyle B\,}是A{\displaystyle A\,}的逆阵。

一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

性质

给定一个n{\displaystyle n\,}阶方阵A{\displaystyle A\,}，则下面的叙述都是等价的：

A{\displaystyle A\,}是可逆的。

A{\displaystyle A\,}的行列式不为零。

A{\displaystyle A\,}的秩等于n{\displaystyle n\,}（A{\displaystyle A\,}满秩）。

A{\displaystyle A\,}的转置矩阵AT{\displaystyle A^{T}\,}也是可逆的。

ATA{\displaystyle A^{T}A\,}也是可逆的。

存在一n{\displaystyle n\,}阶方阵B{\displaystyle B\,}使得AB=In{\displaystyle AB=I_{n}\,}。

存在一n{\displaystyle n\,}阶方阵B{\displaystyle B\,}使得BA=In{\displaystyle BA=I_{n}\,}。

参见

逆阵

正定矩阵

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