登录/注册
置顶
族谱网 头条 人物百科

基尔霍夫积分定理

2020-10-16
出处:族谱网
作者:阿族小谱
浏览:657
转发:0
评论:0
导引点P被包围在闭合曲面S{displaystylemathbb{S}}内。根据格林第二恒等式,假若在体积V{displaystylemathbb{V}}内,函数ϕϕ-->{displ

导引

基尔霍夫积分定理

点P被包围在闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }内。

根据格林第二恒等式,假若在体积V{\displaystyle \mathbb {V} }内,函数ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }和ψ ψ -->{\displaystyle \psi }都是二次连续可微,则

其中,闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }是体积V{\displaystyle \mathbb {V} }的表面,dS{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }是从闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }向外指出的微小面元素矢量。

这方程的左手边是积分于体积V{\displaystyle \mathbb {V} },右手边是积分于这体积的闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }。

设定函数ψ ψ -->(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}满足单色波的亥姆霍兹波动方程:

设定ϕ ϕ -->(r,r′){\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ")}为一种格林函数,是可以描述自由于自由空间、满足数值在无穷远为零的边界条件的圆球面出射波:

其中,R=|r− − -->r′|{\displaystyle R=|\mathbf {r} -\mathbf {r} "|}。

这函数ϕ ϕ -->(r,r′){\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ")}满足关系式

其中,δ δ -->(r− − -->r′){\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ")}是三维狄拉克δ函数。

将ϕ ϕ -->(r,r′){\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ")}、ψ ψ -->(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}的满足式代入,则格林第二恒等式变为

为了标记原因,对换无单撇号与有单撇号的变量。这样,r{\displaystyle \mathbf {r} }标记检验位置,r′{\displaystyle \mathbf {r} "}标记源位置:

假若波扰r{\displaystyle \mathbf {r} }的位置在体积V{\displaystyle \mathbb {V} }内,即点P被包围在闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }内,则ψ ψ -->(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}写为

基尔霍夫积分定理

闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }是由闭合曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}与闭合曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}共同组成。点P处于曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}之内,曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}之外。

上述公式应用于点P被包围在闭合曲面内的物理案例,即从位于闭合曲面的次波源所发射出的次波,在闭合曲面内的点P所产生的波扰。大多数衍射案例计算,从延伸尺寸波源发射出的波,其波前所形成的闭合曲面,在闭合曲面的所有次波源,所发射出的次波,在闭合曲面外的点P所产生的波扰;对于这些案例,点P在闭合曲面之外,延伸波源在闭合曲面之内。这公式也可以推导为点P在闭合曲面外,波源在闭合曲面之内的物理案例。如右图所示,假设闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }是由闭合曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}与闭合曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}共同组成,曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}被包围在曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}的内部。点P处于曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}之内,曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}之外。

让曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}的半径趋于无穷大,则对于曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}的任意点Q,R→ → -->r′{\displaystyle R\to r"}、R^ ^ -->→ → -->− − -->r′^ ^ -->{\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}\to -{\hat {\mathbf {r} "}}},被积函数趋向于零,快过r′{\displaystyle r"}平方反比的趋向于零,满足“索莫菲辐射条件”(Sommerfeld radiation condition),因此在曲面S2{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}的总贡献为零。所以,在点P的波扰为

注意到微小面元素矢量dS′{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} "}的方向是从曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}向内指入。现在,将微小面元素矢量dS′{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} "}的方向改为与原本方向相反:dS′→ → -->− − -->dS′{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} "\to -\mathrm {d} \mathbf {S} "},即从闭合曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}向外指基尔霍夫得到基尔霍夫积分定理的表达式:

假设η η -->^ ^ -->{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}是与dS′{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} "}同方向的单位矢量,是垂直于闭合曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}的法矢量。那么,法向导数与梯度的关系为

所以,基尔霍夫积分定理的另一种表达式为

总结,只考虑单色波,位于点P的波扰ψ ψ -->(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )},可以以位于闭合曲面S1{\displaystyle \mathbb {S} _{1}}的所有波扰ψ ψ -->(r′){\displaystyle \psi (\mathbf {r}梯度)}与其梯度∇ ∇ -->′ψ ψ -->(r′){\displaystyle \nabla "\psi (\mathbf {r} ")}来表达。

非单色波

对于非单色波,必须使用更广义的形式。以傅里叶积分来表达非单色波的分解:

其中,ω ω -->=kc{\displaystyle \omega =kc}是角速度,c{\displaystyle c}是光速。

根据傅里叶反演公式(Fourier inversion formula):

对于每一个傅里叶分量ψ ψ -->ω ω -->{\displaystyle \psi _{\omega }},应用基尔霍夫积分定理,可以得到

将这公式代入Ψ Ψ -->(r,t){\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}的傅里叶积分公式:

设定k=ω ω -->/c{\displaystyle k=\omega /c},注意到推迟时间tr=t− − -->R/c{\displaystyle t_{r}=t-R/c}出现在相位因子里,必须将光波传播的时间纳入计算。更换积分次序,公式变为

在时间t{\displaystyle t},位于点P的波扰Ψ Ψ -->(r,t){\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)},可以以位于闭合曲面S{\displaystyle \mathbb {S} }的所有波扰在其推迟时间tr{\displaystyle t_{r}}的数值Ψ Ψ -->(r′,tr){\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ",t_{r})}与其法向导数∂ ∂ -->Ψ Ψ -->(r′,tr)/∂ ∂ -->n′{\displaystyle \partial \Psi (\mathbf {r} ",t_{r})/\partial n"}来表达:

这就是推广后的基尔霍夫积分定理。

标量理论

光波是传播于空间的电磁辐射,理当被视为一种电磁场矢量现象。但是,基尔霍夫的理论是标量理论,将光波当作标量处理,这可能会造成偏差。因此,物理学者做了很多实验来检查结果是否准确。他们发现,只要孔径尺寸比波长大很多、孔径与观察屏之间的距离不很近,则使用标量理论可以得到相当准确的答案。但是对于某些问题,例如高分辨率光栅衍射,标量理论就不适用,必须使用矢量理论。

参阅

衍射

泊松光斑

推迟势

李纳-维谢势


免责声明:以上内容版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者,感谢每一位的分享。

——— 没有了 ———
编辑:阿族小谱

相关资料

展开

更多文章

更多精彩文章
打赏
私信

推荐阅读

· 柯西积分定理
定理设ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}是复平面C{\displaystyle\mathbb{C}}的一个单连通的开子集。f:ΩΩ-->→→-->C{\displaystylef\;:\;\Omega\;\rightarrow\;\mathbb{C}}是一个ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}上的全纯函数。设γγ-->{\displaystyle\gamma}是ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}内的一个分段可求长的简单闭曲线(即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线),那么:单连通条件的必要性ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}是单连通表示ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}中没有“洞”,例如任何一个开圆盘D={z:|z−−-->z0|<r}{\di...
· 微积分基本定理
正式表述微积分基本定理(FTC)有两个部分,第一部分是关于原函数的导数,第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。第一部分/第一基本定理设a,b∈∈-->R{\displaystylea,b\in\mathbb{R}},设f:[a,b]⟶⟶-->R{\displaystylef:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R黎曼}为黎曼可积的函数,定义如果f在[a,b]连续,则F在闭区间[a,b]连续,在开区间(a,b)可导∀∀-->x∈∈-->(a,b)F′(x)=f(x){\displaystyle\forallx\in(a,b)\quadF"(x)=f(x)}如果G是f的原函数,则G−−-->F{\displaystyleG-F}是一个常数第二部分/第二基本定理设a,b∈∈-->RaR{\displaystylef,F:[a,b]\lon...
· 积分
简介函数f{\displaystylef}在区间[0,1]上积分的近似■极大值(5部分)和■极小值(12部分)积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中,有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量,但随着科技的发展,很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积,可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状,就需要用积分来求出容积。物理学中,常常需要知道一个物理量(比如位移)对另一个物理量(比如力)的累积效果,这时也需要用到积分。我们以下面这个问题作为介绍积分概念的开始:问题中的“下方”面积,是指函数y=f(x){\displaystyley=f(x)}的图象与x轴之间的部分的面积S{\displaystyleS}(见右图)。我们把这个面积称为函数f{\displaystylef}在区间[0,1]上的积分,...
· 曲线积分
向量分析大致来说,向量分析中的曲线积分可以看成在某一场中沿特定路径的累积效果。更具体地说,如果曲线C⊆⊆-->R2{\displaystyleC\subseteq\mathbb{R}^{2}},标量场的曲线积分可以想成某个曲线(不是C{\textstyleC})向下切割出的面积,这可以通过建立函数z=f(x,y)和x-y平面内的曲线C来想像这个曲面,可以把x-y{\displaystylex{\text{-}}y}平面上的曲线C{\displaystyleC}想成屏风的底座,f{\displaystylef}代表在该点屏风的高度(这里假设f≥≥-->0{\displaystylef\geq0}),则f{\displaystylef}的曲线积分就是该“屏风”的面积,也就是前面所说曲线(x(t),y(t),f(x,y)){\textstyle(x(t),y(t),f(x,y))}向...
· 积分变换
概述以一t{\displaystylet}为变数的函数f(t){\displaystylef(t)}为例,f(t){\displaystylef(t)}经过一积分转换T{\displaystyleT}得到Tf(u){\displaystyleTf(u)}其中K{\displaystyleK}是个确定的二元函数,称为此积分变换的核函数(kernelfunction)或核(nucleus).当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换。f(t){\displaystylef(t)}称为象原函数,Tf(u){\displaystyleTf(u)}称为f(t){\displaystylef(t)}的象函数,在一定条件下,它们是一一对应而变换是可逆的。有些积分变换有相对应的反积分变换(inversetransform),使得而K−−-->1(u,t){\displaystyleK^{...

关于我们

关注族谱网 微信公众号,每日及时查看相关推荐,订阅互动等。

APP下载

下载族谱APP 微信公众号,每日及时查看
扫一扫添加客服微信