完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过 2 n − − --> 1 × × --> ( 2 n − − --> 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)} 的表达式发现前四个完全数的。

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式： 2 n − − --> 1 ( 2 n − − --> 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} ，其中 2 n − − --> 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 是素数，此事实的充分性由欧几里得欧拉，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的6和28对应着 n =2和3的情况。我们只要找到了一个形如2 − 1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是 12 p + 1 {\displaystyle 12p+1} 或 36 p + 9 {\displaystyle 36p+9} 的形式，其中p是素数。

首十个完全数是（ A000396 ）：

6（1位）

28（2位）

496（3位）

8128（4位）

33550336（8位）

8589869056（10位）

137438691328（12位）

2305843008139952128（19位）

2658455991569831744654692615953842176（37位）

191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为2，3，5，7恰好是头4个素数，第五个完全数应该是第五个素数即当 n ＝11的时候，可是 2 11 − − --> 1 = 23 × × --> 89 {\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89} 并不是素数。因此 n ＝11不是完全数。另外两个 错误假设 是：

头四个完全数分别是1，2，3，4位数，第五个应该是5位数。

完全数应该是交替以6或者8结尾。

而事实上，第五个完全数 33550336 = 2 12 ( 2 13 − − --> 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} ，是8位数。对于第二个假设，第五个完全数确实是以6结尾，但是第六个完全数8 589 869 056仍是以6结尾，应该说完全数只有以6和8结尾才对。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到2016年1月为止，共发现了49个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为2 × (2 − 1)，共有44,677,235位数。

性质

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

偶完全数都是以6或8结尾。

除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1：（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1。）

所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从 2 p − − --> 1 {\displaystyle 2^{p-1}} 到 2 2 p − − --> 2 {\displaystyle 2^{2p-2}} ：

每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有 2 p − − --> 1 {\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}} )：

每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以通分母证得。因此每个完全数都是调和数。）

它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如 2 n − − --> 1 ( 2 n − − --> 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} ）

奇完全数

用计算机已经证实：在10 以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一个不少于7位数的质因子）但不包含3，亦不会是立方数。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。

奇完全数的部分条件

N > 10 ，2012年公布的结果。

N 是以下形式：

N 的最大素因子必须大于10 （Takeshi Goto和Yasuo Ohno，2006）。

N 的第二大素因子必须大于10 （Iannucci 1999，2000）。

N 至少要有75个素因子，其中至少9个是不同的。如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。（Nielsen 2006；Kevin Hare 2005）。

如果对于所有的 i ，都有 e i {\displaystyle e_{i}} ≤ 2，那么：

Touchard定理

这个定理说明若存在奇完全数，其形式必如 12 m + 1 {\displaystyle 12m+1} 或 36 q + 9 {\displaystyle 36q+9} 。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明，1951年van der Pol用非线性偏微分方程得出证明。Judy A. Holdener在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。

证明会使用这三个结果：（下面的n,k,j,m,q均为正整数）

欧拉证明了奇完全数的形式必如 4 j + 1 {\displaystyle 4j+1} 。[1]

σ σ --> ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 表示 n {\displaystyle n} 的正约数之和。完全数的定义即为 2 n = σ σ --> ( n ) {\displaystyle 2n=\sigma (n)} 。 σ σ --> ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 为积性函数

引理：若 n = 6 k − − --> 1 {\displaystyle n=6k-1} （ k {\displaystyle k} 是正整数），则 n {\displaystyle n} 非完全数。

引理的证明：

使用反证法，设 n {\displaystyle n} 为完全数，且 n ≡ ≡ --> − − --> 1 ( mod 6 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}} 。

n ≡ ≡ --> − − --> 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}} 。因为3的二次剩余只有0,1，故 n {\displaystyle n} 非平方数，因此其正约数个数为偶数。

n {\displaystyle n} 有正约数 d {\displaystyle d} ，则可得：

因此， ( n / d + d ) ≡ ≡ --> 0 ( mod 3 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}} 。故 σ σ --> ( n ) = ∑ ∑ --> d 0 ( mod 3 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d 。

但 2 n ≡ ≡ --> 2 ( − − --> 1 ) ≡ ≡ --> 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}} ，矛盾。

故 n {\displaystyle n} 的形式只可能为 6 k + 1 {\displaystyle 6k+1} 或 6 k + 3 {\displaystyle 6k+3} 。

若 n = 6 k + 1 {\displaystyle n=6k+1} ，根据欧拉的结果， n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} ，综合两者，得 n = 12 m + 1 {\displaystyle n=12m+1} 。

若 n = 6 k + 3 {\displaystyle n=6k+3} ， n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} ，得 n = 12 m + 9 = 3 ( 4 m + 3 ) {\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)} 。若 m {\displaystyle m} 非3的倍数，3和 4 m + 3 {\displaystyle 4m+3} 互素。

因为 σ σ --> ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 为积性函数，可得 σ σ --> ( n ) = σ σ --> ( 3 ) σ σ --> ( 4 m + 3 ) = 4 σ σ --> ( 4 m + 3 ) ≡ ≡ --> 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}} 。

但 2 n = 2 ( 4 j + 1 ) ≡ ≡ --> 2 ( mod 4 ) {\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}} ，出现了矛盾。故知 m {\displaystyle m} 是3的倍数。代入 m = 3 q {\displaystyle m=3q} ，可得 n = 36 q + 9 {\displaystyle n=36q+9} 。

参考

Odd Perfect Numbers, Gagan Tara Nanda

参见

高合成数

婚约数

亲和数

丰数

亏数

梅森素数

半完全数

佩服数

超完全数

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