格罗滕迪克拓扑斯（几何中的拓子）

自1940年代层的引入，数学中一个重要的主题便成了用空间上的层研究空间。亚历山大·格罗滕迪克以引入拓子的概念，详细说明了这个想法。在数学中，常常有这样的情况：拓扑直觉很有效，但是并没有拓扑空间，这时拓扑斯便显出它的功效；有时可以找到一个拓扑斯，使得直觉形式化。这个程式化的想法最伟大的成就是概形的平展拓扑斯的引入。

等价构造

令C为一范畴。Giraud的一个定理断言，以下命题等价：

有小范畴D和包含关系C↪ ↪ -->{\displaystyle \hookrightarrow } Presh(D)使得其存在保持有限极限的左伴随。

C是格罗滕迪克site上的层范畴。

C满足以下的Giraud公理

有如上之性质的范畴称为“（格罗滕迪克）拓扑斯”。这里Presh(D)表示从D到几何范畴的反变函子范畴；如此的反变函子常被称为预层。

Giraud公理

范畴C的Giraud公理是：

C的生成元构成小集合，且允许所有小的余极限。进一步，余极限与纤维积可交换。

C中的和是不交的。换句话说，X和Y在它们和上的纤维积是C的初对象。

C中所有等价关系皆为有效的。

最后一个公理需要最多解释。若X为C中对象，X上一等价关系R为C中映射R→X×X，使得所有映射Hom(Y,R)→Hom(Y,X)×Hom(Y,X)是集合中的等价关系。因为C有余极限，我们可构作两映射R→X的余等化子X/R。这等价关系是有效的，若典范映射

是同构。

例子

Giraud定理已经给出了“sites上的层”作为例子的完全列表。注意不等价的sites常常给出等价的拓扑斯。如介绍所示，普通拓扑空间上的层激发了很多拓扑斯理论的基本定义和结果。

集合的范畴是特别而重要的情形：它在拓扑斯理论中扮演了点的角色。确实，一个集合可被理解成单点上的层。

更多外来的例子和拓扑斯理论存在的理由来自代数几何。对一概形甚至是栈，我们可关联平展拓扑斯，fppf拓扑斯，Nisnevich拓扑斯……

几何态射

如果X和Y是拓扑斯，一个几何态射u: X→Y是一对伴随函子(u,u∗)，使得u保持有限极限。注意u由于有右伴随而自动保持余极限。

通过Freyd伴随函子定理，给定一几何态射X → Y相当于给定一保持有限极限和所有小余极限的函子u: Y → X。

因此拓扑斯间的几何态射可以被看成locales的映射的类似。

若X和Y是拓扑空间，u是其间的连续映射，层上的前推和拉回给出相关拓扑斯间的几何态射。

拓扑斯的点

拓子X中的点是从集合的拓子到X的几何态射。

若X是普通拓扑空间，x是X的点，那么把层F带到它的茎Fx的函子有右伴随（“摩天大楼层”函子），因此X的普通点同时决定了一个拓扑斯理论中的点。这些可以用沿连续映射x: 1 → X的拉回前推来构造。

基本几何态射

一几何态射(u,u∗)被称为基本的，若u有进一步左伴随u!，或等价地（由伴随函子定理）若u不仅保持有限而且保持所有小极限。

赋环拓扑斯

一个赋环拓扑斯是对(X,R)，其中X是一拓扑斯而R是X中交换环对象。大部分赋环空间的构造可用在赋环拓扑斯上。X中R模对象范畴是有足够内射元的阿贝尔范畴。更有用的阿贝尔范畴是拟凝聚R模子范畴：它们是有展示的R模。

除赋环空间，另一类重要的赋环拓扑斯是德利涅-芒福德栈的平展拓扑斯。

拓扑斯的同伦理论

基本拓扑斯（逻辑中的拓扑斯）

介绍

形式定义

解释

进一步的例子

参见

范畴论

格罗滕迪克拓扑

参考资料

John Baez: "Topos theory in a nutshell." A gentle introduction.

Steven Vickers: "Toposes pour les nuls" and "Toposes pour les vraiment nuls." Elementary and even more elementary introductions to toposes as generalized spaces.

Illusie, Luc,What is a ... topos?(PDF), Notices of the AMS 

以下是对范畴论和拓扑斯易学的介绍。 它们适合对数理逻辑和集合论了解较少的人，甚至是非数学家。

F. William Lawvere and Stephen H. Schanuel (1997) Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. An "introduction to categories for computer scientists, logicians, physicists, linguists, etc." (cited from cover text).

F. William Lawvere and Robert Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics. Cambridge University Press. Introduces the foundations of mathematics from a categorical perspective.

格罗滕迪克对拓扑斯基础性的工作：

Grothendieck and Verdier: Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (known asSGA4)". New York/Berlin: Springer, ??. (Lecture notes in mathematics, 269–270)

以下专著包括对部分或全部拓扑斯理论的介绍，但并非主要为初学者而写。 越靠后难度越高。

Colin McLarty (1992) Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford Univ. Press. A nice introduction to the basics of category theory, topos theory, and topos logic. Assumes very few prerequisites.

Robert Goldblatt (1984) Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. A good start. Reprinted 2006 by Dover Publications, and availableonlineatRobert Goldblatt"s homepage.

John Lane Bell (2005) The Development of Categorical Logic. Handbook of Philosophical Logic, Volume 12. Springer. Version availableonlineatJohn Bell"s homepage.

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk (1992) Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. Springer Verlag. More complete, and more difficult to read.

Michael Barr and Charles Wells (1985) Toposes, Triples and Theories. Springer Verlag. Corrected online version athttp://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html. More concise than Sheaves in Geometry and Logic, but hard on beginners.

Francis Borceux (1994) Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves, Volume 52 of the Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. The third part of "Borceux" remarkable magnum opus", as Johnstone has labelled it. Still suitable as an introduction, though beginners may find it hard to recognize the most relevant results among the huge amount of material given.

Peter T. Johnstone (1977) Topos Theory, L. M. S. Monographs no. 10. Academic Press. ISBN 0123878500. For a long time the standard compendium on topos theory. However, even Johnstone describes this work as "far too hard to read, and not for the faint-hearted."

Peter T. Johnstone (2002) Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford Science Publications. As of early 2010, two of the scheduled three volumes of this overwhelming compendium were available.

Maria Cristina Pedicchio and Walter Tholen, eds. (2004) Categorical Foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory. Volume 97 of the Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. Includes many interesting special applications.

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