定义

给定一拓扑空间 (X,τ) 和一 X 内的子集 S ，于 S 上的子空间拓扑被定义为

亦即， S 的子集于子空间拓扑中为开集当且仅当其为 S 和一于 (X,τ) 内的开集的交集。若 S 被设上子空间拓扑，则其本身即为一拓扑空间，并被称之为 (X,τ) 的子空间。除非有额外叙述，一般拓扑空间的子集都会假定设有一子空间拓扑。

若 S 为 (X,τ) 内的开集、闭集或稠密集，则分别称 (S,τS) 为 (X,τ) 内的一开子空间、闭子空间或稠密子空间。

另外，也可以定义 X 内的子集 S 的子空间拓扑为会使得内含映射

为连续的最弱拓扑。

更一般地，设 i 为一由集合 S 至拓扑空间 X 的单射，则于 S 上的子空间拓扑即为定义为 i 为连续的最弱拓扑。此拓扑的开集恰好会是i(U) 的其中一个，其中的 U 为 X 内的开集。 S 因此同胚于在 X 内的值域（也是带子空间拓扑），且 i 会被称之为拓扑嵌入。

例子

给定一具一般拓扑的实数，其自然数（实数的一子空间）的子空间拓扑会是一个离散拓扑。

有理数Q 做为一个 R 的子空间，不带有离散拓扑（点 0 在 Q 内不是开集）。

令 S = [0,1) 为实线 R 的一子空间，则 [0,½) 在 S 内为开集，但在 R 内则不是。相似地，[½, 1) 在 S 内为闭集，但在 R 内则不是。 S 为其自身的开子集和闭子集，但做为 R 的子集则两者皆不是。

参考文献

Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)

Steen, Lynn A. and Seeback, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970) ISBN 0-03-079485-4.

Wilard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

另见

商空间

积空间

直和拓扑

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