定义

不可数集有许多等价的定义。一个集合 X 是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

不存在从 X 到自然数集合的单射函数。

X 的基数既不是有限的，又不等于 ℵ ℵ --> 0 {\displaystyle \aleph _{0}} （阿列夫-0，自然数集合的基数）。

X 的基数严格大于 ℵ ℵ --> 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 。

性质

如果不可数集 X 是集合 Y 的子集，则 Y 是不可数集。

例子

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合 R ；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。 R 的基数通常记为 c 、 2 ℵ ℵ --> 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} ，或 ℶ ℶ --> 1 {\displaystyle \beth _{1}} 。

康托尔集是 R 的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（ R 的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果 R 的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维，那么它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从 R 到 R 的函数的集合。这个集合比 R 更“不可数”，因为它的基数是 ℶ ℶ --> 2 {\displaystyle \beth _{2}} ，它比 ℶ ℶ --> 1 {\displaystyle \beth _{1}} 还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为Ω或ω 1 。Ω的基数记为 ℵ ℵ --> 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 。利用选择公理，可以证明 ℵ ℵ --> 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 是最小的不可数基数。于是，实数的基数 ℶ ℶ --> 1 {\displaystyle \beth _{1}} ，要么等于 ℵ ℵ --> 1 {\displaystyle \aleph _{1}} ，要么严格比它大。康托尔是第一个提出 ℶ ℶ --> 1 {\displaystyle \beth _{1}} 是否等于 ℵ ℵ --> 1 {\displaystyle \aleph _{希尔伯特 的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为它的23个问题之一。 ℵ ℵ --> 1 = ℶ ℶ --> 1 {\displaystyle \aleph _连续统假设beth _{1}} 的陈述现在称为连续统假设，现已知道它独立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。

参见

可数集

阿列夫数

自然数

单射函数

参考文献

Halmos, Paul， Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).

Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2.

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