定义

假设 V 是在域 K 上的向量空间。如果 v 1 , v 2 , ..., v n 是 V 的向量，称它们为 线性相关 ，如果从域K 中有非全零的元素 a 1 , a 2 , ..., a n ，适合

或更简略地表示成，

（注意右边的零是 V 的零向量，不是 K 的零元。）

如果 K 中不存在这样的元素，那么 v 1 , v 2 , ..., v n 是 线性无关 。

对 线性无关 可以给出更直接的定义。向量 v 1 , v 2 , ..., v n 线性无关 ，当且仅当它们满足以下条件：如果 a 1 , a 2 , ..., a n 是 K 的元素，适合：

那么对所有 i = 1, 2, ..., n 都有 a i = 0。

在 V 中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。

相关性

含有零向量的向量组，必定线性相关。

含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。

若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。

整体线性无关，局部必线性无关。

向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。

若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。

若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。

若 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} 线性无关，而 b , a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle b,a_{1},a_{2},...,a_{s}} 线性相关，则 b {\displaystyle b} 必可由 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} 线性表示，且表示系数唯一。

有向量组 I { a 1 , a 2 , . . . , a s } {\displaystyle {\textrm {I}}\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}} 和 II { b 1 , b 2 , . . . , b t } {\displaystyle {\textrm {II}}\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\}} ，其中 t > s {\displaystyle t>s} ，且 II {\displaystyle {\textrm {II}}} 中每个向量都可由 I {\displaystyle {\textrm {I}}} 线性表示，则向量组 II {\displaystyle {\textrm {II}}} 必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。

若一向量组 b 1 , b 2 , . . . , b t {\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}} 可由向量组 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} 线性表示，且 b 1 , b 2 , . . . , b t {\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}} 线性无关，则 t ≤ ≤ --> s {\displaystyle t\leq s} 。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。

例子1

设 V = R ，考虑 V 内的以下元素：

则 e 1 、 e 2 、……、 e n 是线性无关的。

证明

假设 a 1 、 a 2 、……、 a n 是 R 中的元素，使得：

由于

因此对于{1, ..., n }内的所有 i ，都有 a i = 0。

例子2

设 V 是实变量 t 的所有函数的向量空间。则 V 内的函数 e 和 e 是线性无关的。

证明

假设 a 和 b 是两个实数，使得对于所有的 t ，都有：

我们需要证明 a = 0且 b = 0。我们把等式两边除以 e （它不能是零），得：

也就是说，函数 be 与 t 一定是独立的，这只能在 b = 0时出现。可推出 a 也一定是零。

例子3

R 内的以下向量是线性相关的。

证明

我们需要求出标量 λ λ --> 1 {\displaystyle \lambda _{1}} 、 λ λ --> 2 {\displaystyle \lambda _{2}} 和 λ λ --> 3 {\displaystyle \lambda _{3}} ，使得：

可以形成以下的方程组：

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。

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