陈述

假定 P 是一个双变量谓词，对于任何集合 x 有一个唯一的集合 y 使 P ( x , y ) 成立。接着我们可以形成一个单变量的泛函谓词 F ，使得 F ( x ) = y 当且仅当 P ( x , y )。

替代公理声称，给定一个集合 A ，我们可以找到一个集合 B ，它的成员完全是 F 在 A 的成员上的值。注意对于每个这样的谓词 P 都有一个相对应的公理；所以，这是一个公理模式。

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理模式读做：

换句话说，

如果允许在公理模式中使用导出的泛函谓词，则这个公理模式可以写为：

对于每个导出的单变量的泛函谓词 F ； 换句话说：

通过外延公理可知这个集合 B 是唯一的。我们称这个集合 B 为 A 在 F 下的像，并指示它为 F ( A ) 或（使用集合建构式符号形式）{ F ( x ): x ∈ A }。

有时引用这个公理不带唯一性要求：

就是说，谓词 P 不被限制为泛函的：要应用它于一个集合 A ，只需存在至少一个元素 y 对应于 A 的每个元素 x 就可以了； y 对每个 x 是唯一的不是必需的。在这种情况下，被断言存在的像集合 B 将为 A 的每个 x 包含至少一个这样的 y ，不保证只包含唯一的一个。

有时陈述这个公理不对谓词加任何限制：

就是说，根本不要求 P 把集合 A 的一个元素映射到任何对象。但是如果对于 A 的一个元素 x 有至少一个 y 对应于它，则像集合 B 将包含至少一个这样的 y 。

这个不对谓词作限制的公理，也叫做 有界公理 或 搜集公理 ，看似比原先的替代公理更强，但是这两个版本都可以从替代公理推导出来。另一方面，任何泛函谓词都是谓词，所以有界公理也蕴涵替代公理，因此两个公理是等价的（在给定了其他 Zermelo-Fraenkel 公理的情况下）。

应用例子

序数ω·2 = ω + ω（使用冯·诺伊曼的现代定义）是第一个不使用替代公理就不能构造的序数。无穷公理断言无限序列 ω = {0, 1 ,2 ,...} 的存在，也只断言了这个序列。我们希望定义 ω·2 为序列 {ω, ω + 1, ω + 2,...}，但是一般的序数的类不一定是集合（例如，所有序数的类不是集合）。替代公理允许你把在 ω 中每个有限数 n 替代为对应的 ω + n ，并保证替代所得的类是集合。注意你可以轻易地构造序同构于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理：取 ω 的两个复件的不交并，然后设第二个复件大于第一个便可。但这样所得的集合并不是一个序数，因为它在属于关系下不是一个全序。

显然，若要确保可以指派一个序数给任意的良序集合，也要用到替代公理。类似的，若要确保可以指派一个基数给任意集合（冯·诺伊曼基数指派），我们也需要替代公理，以及选择公理。

所有的可数的极限序数的构造也要求替代公理，就像 ω·2 的构造那样。较大的序数则不那么直接地依赖于替代公理。例如 ω 1 是第一个不可数序数，可以构造如下：由全体可数良序组成的集合，会是 ℘( N × N ) 的一个子集，这点通过分离公理和幂集公理可知（在 A 上的关系是 A × A 的一个子集，因此是幂集℘( A × A ) 的一个元素。关系的集合因此是 ℘( A × A ) 的子集）。把每个良序集合替代为它的序数。这是可数序数 ω 1 的集合，它自身可以被证明是不可数的。这个构造使用了替代公理两次；第一次确保对每个良序集合的一个序数指派，第二次把良序集合替代为其对应的序数。这是 Hartogs 数 （ 英语 ： Hartogs number ） 的结果的特殊情况，而一般情况可以类似的证明。

不带替代公理的选择公理（ZC 集合论）不足以强到证明博雷尔集是 确定 （ 英语 ： Axiom of determinacy ） 的；为此你需要替代公理。

历史和哲学

多数可以应用替代公理的应用实际上不需要它。例如，假设 f 是从集合 S 到集合 T 的函数。接着我们可以构造一个泛函谓词 F 使得在 x 是 S 的成员的时候有 F ( x ) = f ( x )，在其他时候随意设 F ( x ) 为某个对象（这里的指派方式不要紧）。然后，给定 S 的一个子集 A ，应用替代公理模式于 F ，构造子集 A 在函数 f 下的像 f ( A ) 为 { F ( x ) : x ∈ ∈ --> A } {\displaystyle \{F(x):x\in A\}} （或表示为 F ( A )）。但是这里实际上不需要替代公理，因为 f ( A ) 是 T 的子集，所以我们可以使用分类公理模式来构造这个像为集合 { y ∈ ∈ --> T : ∃ ∃ --> x ∈ ∈ --> A , y = f ( x ) } {\displaystyle \{y\in T:\exists x\in A,y=f(x)\}} 。一般的说，当 F 在 A 的成员上的值都属于某个预先构造的集合 T 时，使用分类公理就足够了；只在不能获得这样的 T 的时候，才需要替代公理，运算定义在真类的子集上的运算。

按某些哲学家的说法，在上述例子中最好应用分类公理于集合 T ，因为分类公理在逻辑上弱于替代公理。实际上，在普通数学中不需要替代公理，只是需要它作为特定公理化集合论的特征。例如，你需要替代公理来从 ω·2 向上构造冯·诺伊曼序数，而冯·诺伊曼序数对特定集合论的结果是必需的。在良序集合的理论就足够应用的情况下，你不需要用替代公理构造这些序数。对于某些钻研数学基础的数学家，特别是那些专注于类型论而非集合论的人，他们或认为这个公理在各种意义上都是不需要的，因此在其工作中不包括这个公理（以及其相对应的类型论版本）。通常在基于拓扑斯理论建造的基础理论上，都难以表达出替代公理，所以一般不包括它。然而，替代公理的争论不在于有人认为它的推论必然是假的（如选择公理的争论）；只是有部分人认为它是没有必要的。

替代公理模式不是恩斯特·策梅洛在 1908年所公理化的集合论（ Z ）的一部分；它由 亚伯拉罕·弗兰克尔 （ 英语 ： Abraham Fraenkel ） 在 1922 年引入，从而得到了现代的 Zermelo-Fraenkel 集合论 ( ZF )。 陶拉尔夫·斯科伦 （ 英语 ： Thoralf Skolem ） 在同一年晚些时候独立的发现了这个公理，实际上我们今天使用的公理列表是Skolem的最终版本 -- 通常不提及他的贡献是因为每个单独的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先发现的。从证明论的观点看，增加替代公理形成了很大的差异；把这个公理模式加进Zermelo 公理使系统在逻辑上更强，允许你证明更多的陈述。特别是，在 ZF 中你可以通过构造冯·诺伊曼全集V ω2 为模型，证明 Z 的相容性。（当然，哥德尔第二不完备定理表明这两个理论都不能证明自身的相容性，如果它自身是相容的。）

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。