例子

在实数域上的内积（点积）是两个变量的对称双线性函数，

矩阵的行列式是方矩阵的列（或行）的斜对称多重线性函数。

矩阵的迹数是方矩阵的列（或行）的多重线性函数。

双线性映射是多重线性映射。

在n×n矩阵上多重线性映射

可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行（或等价说列）上的函数。设A是这样的矩阵而ai{\displaystyle a_{i}}, 1 ≤ i ≤ n是A的行。则多重线性函数D可以写为

满足

如果我们设ε ε -->j{\displaystyle \varepsilon _{j}}表示单位矩阵的第j行，我们用下列方法表示ai{\displaystyle a_{i}}

利用D的多线性我们重写D（A）为

继续这种代换于每个ai{\displaystyle a_{i}}我们得到，对于1 ≤ i ≤ n

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于D(ε ε -->k1,… … -->,ε ε -->kn){\displaystyle D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})}上。

在2×2矩阵的情况下我们得到

这里的ε ε -->1=[1,0]{\displaystyle \varepsilon _{1}=[1,0]}且ε ε -->2=[0,1]{\displaystyle \varepsilon _{2}=[0,1]}。如果我们限制D是交替函数，则D(ε ε -->1,ε ε -->1)=D(ε ε -->2,ε ε -->2)=0{\displaystyle D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})=D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})=0}且D(ε ε -->2,ε ε -->1)=− − -->D(ε ε -->1,ε ε -->2)=− − -->D(I){\displaystyle D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})=-D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})=-D(I)}。设D(I)=1{\displaystyle D(I)=1}我们得到在2×2矩阵上行列式函数:

性质

多重线性映射有零值，只要它的一个参数是零。

对于n>1，唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。

参见

代数形式

多重线性形式

齐次多项式

齐次函数

张量

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