定理的陈述和第一个推论

定理准确的陈述如下。 设 θ 是一个 n 维流形上的 1-形式，使得 dθ 有常秩 p 。如果任一点都有

那么有一个局部的坐标系x1,...,xn-p, y1, ..., yp ，在这个坐标系下

dyp。 另一个方面，如果任一点有

那么有一个局部坐标系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp 使得

特别的，设 ω 是 n=2m 维流形 M 上的一个辛 2-形式。M 上任一点 p 的局部，由庞加莱引理，总有一个 1-形式 θ 满足 dθ=ω 。进一步 θ 满足达布定理的第一个假设，从而局部存在一个 p 附近的坐标卡 U 使得

取外导数便有

坐标卡 U 称为 p 附近的达布坐标卡。 流形 M 能被这样的卡覆盖。

换一种方式叙述，将 R 与 C 等同起来，令 zj = xj + i yj。如果 φ : U → C是一个达布坐标卡，那么 ω 是标准辛形式 ω0 在 C 上的拉回:

和黎曼几何的比较

这个结论意味着辛几何没有局部不变性：在任何一点附近，总能取一个达布基。这和黎曼几何具有显著的不同，高斯绝妙定理指出曲率是黎曼几何的一个局部不变量。曲率阻碍了将度量局部写成一个平方和。

必须要强调的是，达布定理是说 ω 能在 p 附近的“整个邻域”写成一个标准形式。黎曼几何中，度量总能在给定一“点”写成一个标准形式，但一般不能在那个点的邻域，除非局部为欧氏空间。

又见

Carathéodory-Jacobi-Lie 定理，这个定理的一个推广。

参考文献

Darboux, Gaston.Sur le problème de Pfaff. Bull. Sci. Math. 1882, 6: 14–36, 49–68. 

Pfaff, Johann Friedrich. Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin. 1814–1815: 76–136. 

Sternberg, Shlomo. Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 1964. 

McDuff, D. and Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 0-19-850451-9. 

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