定义

设 S 为拓扑空间 X {\displaystyle X} 的一个子集，若所有包含 x （注意 x 不一定属于 S ）的开集也包含至少一个 S 内的非 x 的点，即称 x 为 S 的 极限点 。由 S 内所有极限点所组成的集合称为 S 的导集，标记为 S ′ {\displaystyle S"} 。

在T 1 空间里，上述定义和要求 x 的每个邻域皆包含无限多个 S 的点是等价的。（在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，这样通常会比较轻松。）

另外，若 X 为序列空间，则可称 x ∈ X 为 S 的极限点，当且仅当存在一个由 S \ { x }的点组成的ω序列，其极限为 x ；这也是“极限点”此一名称的由来。

特殊类型的极限点

如果包含 x 的所有开集都包含无限多个 S 的点，则 x 是特殊类型极限点，称为 S 的 ω ‐ 会聚点 （ ω‐accumulation point ）。

如果包含 x {\displaystyle x} 的所有开集都包含不可数多个 S {\displaystyle S} 的点，则 x {\displaystyle x} 是特殊类型的极限点，称为 S {\displaystyle S} 的 缩合点 （ condensation point ）。

ω ‐ 会聚点

在度量空间中， ω ‐ 会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中，两者概念不再等价。对于非强拓扑空间，一个所有 ω ‐ 会聚点都属于本身的集合不一定是闭集，但一个所有极限点都属于本身（导集包含于自身）的集合必为闭集。

（度量空间的）聚集点

在带有距离 d 的度量空间 X 中，称 X 中点 x 是序列 x n 的 聚集点 （cluster point）或 会聚点 （accumulation point），是指对于所有 ε > 0，有无限多的 n 值使得 d ( x , x n ) < ε 。等价的说，所有 x 的开邻域包含对无限多 n 的 x n 。

序列中的点的集合的极限点是这个序列的聚集点。但是，如果对于无限多的 n ， x n 的值是相等的，这个点是这个序列的聚集点但不必然是在这个序列中的点的集合的极限点。

序列的聚集点是子序列极限：即某个子序列的极限。

网的概念推广了序列的想法。在网中的聚集点包括了缩合点和ω-会聚点二者的想法。

如果φ是在 X 上的基于有向集合 D 的网，而 A 是 X 的子集，则φ经常在 A 中，如果对于所有 D 中的α存在某个β ≥ α有β在 D 中，所以φ(β)在 A 中。在 X 中的点 x 被称为是网的会聚点或聚集点，当且仅当对于 x 的邻域 U ，这个网经常在 U 中。

聚集和极限点也定义于滤子的相关主题中。

序列的所有聚集点的集合有时叫做极限集合。

性质

关于极限点的性质： x {\displaystyle x} 是 S {\displaystyle S} 的极限点，当且仅当它属于 S {\displaystyle S} \ { x {\displaystyle x} }的闭包。

S {\displaystyle S} 的闭包具有下列性质： S {\displaystyle S} 的闭包等于 S {\displaystyle S} 和其导集的并集。

上述结论的推论给出了闭集的性质：集合 S {\displaystyle S} 是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。

孤点不是任何集合的极限点。

空间 x {\displaystyle x} 是离散空间，当且仅当 x {\displaystyle x} 的子集都没有极限点。

若空间 x {\displaystyle x} 有密着拓扑，且 S {\displaystyle S} 是 x {\displaystyle x} 的多于一个元素的子集，则 x {\displaystyle x} 的所有元素都是 S {\displaystyle S} 的极限点。若 S {\displaystyle S} 是单元素集合，则所有 x {\displaystyle x} \ S {\displaystyle S} 的点仍然是 S {\displaystyle S} 的极限点。

引用

PlanetMath上limit point的资料。

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