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完备空间

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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例子有理数空间不是完备的，因为2{displaystyle{sqrt{2}}}的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限2{displaystyle{sqrt{2}}}不在有理数空间内。实数空

例子

有理数空间不是完备的，因为2{\displaystyle {\sqrt {2}}}的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限2{\displaystyle {\sqrt {2}}}不在有理数空间内。

实数空间是完备的

开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛于(0, 1)中任何的点。

令S为任一集合，S为S中的所有序列。如下定义S上任意两个序列(xn)和(yn)的距离：如果存在某个最小的N，使xN≠ ≠ -->yN{\displaystyle x_{N}\neq y_{N}}，那么定义距离为1/N；否则（所有的对应项都相等）距离为0。按此方式定义的度量空间是完备的。同胚间同胚于离散空间S的可数个副本的积。

直观理解

直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。

相关定理

任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。

完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。

若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：

若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合Cb(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。

贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。

完备化

定义

对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M" （或者表示为M¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {M}}}），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M" 具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N连续函数续函数，则存在唯一的从M" 到N的一致连续函数f" 使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M" 在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。

以上定义是基于M是M"的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。

构造

类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。

对M中的任意两个柯西序列x=(xn)和y=(yn)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = limn d(xn,yn)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L到Lp{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价关系）。这样，令ξx = {y是M上的柯西序列：yn→ → -->x{\displaystyle y_{n}\rightarrow x}}，M" ={ξx：x ∈ M}，原空间M就以x→ → -->{\displaystyle \rightarrow }ξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M" 中。易于验证，M等距同构于M" 的稠密子空间。

康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

性质

康托尔的实数建构是上述构造的特例；此时实数集可表为有理数集对绝对值的完备化。倘若在有理数集上另取其它的绝对值，得到的完备空间则为p进数。

若将上述流程施于赋范向量空间，可得到一个巴拿赫空间，原空间是其中的稠密子空间。若施于一个内积空间，得到的则是希尔伯特空间，原空间依然是其稠密子空间。