定义

给定一个向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 。 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一组 基 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是指 V {\displaystyle \mathrm {V} } 里面的可线性生成 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一个线性无关子集。 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 的元素称为 基向量 。

更详细来说，设 B = { e 1 , e 2 , ⋯ ⋯ --> , e n } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}} 是在系数域 F {\displaystyle \mathbb {F} } 实数如实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } ）上的向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的有限子集。如果 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 满足下列条件：

对任意 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ⋯ ⋯ --> , λ λ --> n ) ∈ ∈ --> F n {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in \mathbb {F} ^{n}} ，如果 λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ⋯ ⋯ --> + λ λ --> n e n = 0 {\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=0} ，则必然 λ λ --> 1 = λ λ --> 2 = ⋯ ⋯ --> = λ λ --> n = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\cdots =\lambda _{n}=0} ；

对任意 v ∈ ∈ --> V {\displaystyle v\in \mathrm {V} } ，可以选择 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ⋯ ⋯ --> , λ λ --> n ) ∈ ∈ --> F n {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in \mathbb {F} ^{n}} ，使得 v = λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ⋯ ⋯ --> + λ λ --> n e n {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}} 。

就说 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一组 基 。第二个条件中，将一个向量 v ∈ ∈ --> V {\displaystyle v\in \mathrm {V} } 表示成 λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ⋯ ⋯ --> + λ λ --> n e n {\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}} 的形式，称为向量 v {\displaystyle v} 在基底 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 下的分解。 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ⋯ ⋯ --> , λ λ --> n ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})} 称为向量 v {\displaystyle v} 在基底 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 下的分量表示。

有有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间，必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一个子集 (有限或无限) B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 满足：

它的所有有限子集 B ′ ⊂ ⊂ --> B {\displaystyle {\mathfrak {B}}"\subset {\mathfrak {B}}} 满足上面的第一个条件（即线性无关）；

对任意 v ∈ ∈ --> V {\displaystyle v\in \mathrm {V} } ，可以选择 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ⋯ ⋯ --> , λ λ --> n ) ∈ ∈ --> F n {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in \mathbb {F} ^{n}} ，以及 e 1 , e 2 , ⋯ ⋯ --> , e n ∈ ∈ --> B {\displaystyle e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\in {\mathfrak {B}}} ，使得 v = λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ⋯ ⋯ --> + λ λ --> n e n {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}} 。

就称 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是无限维空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一组基。

没有装备拓扑结构的向量空间的结构不足以谈论向量的无限和，因此上述定义只包括对有限个向量求和。

性质

设 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的子集。则 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是基，当且仅当满足了下列任一条件：

V {\displaystyle \mathrm {V} } 是 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 的极小生成集，就是说只有 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 能生成 V {\displaystyle \mathrm {V} } ，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。

B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中线性无关向量的极大集合，就是说 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 在 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中是线性无关集合，而且 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。

V {\displaystyle \mathrm {V} } 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子

考虑所有坐标 ( a , b )的向量空间 R ，这里的 a 和 b 都是实数。则非常自然和简单的基就是向量 e 1 = (1,0)和 e 2 = (0,1):假设 v = ( a , b )是 R 中的向量，则 v = a (1,0) + b (0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成 R 的一个基。

更一般的说，给定自然数 n 。 n 个线性无关的向量 e 1 , e 2 , ..., e n 可以在实数域上生成 R 。因此，它们也是的一个基而 R 的维度是 n 。这个基叫做 R 的标准基。

设 V 是由函数 e 和 e 生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了 V 的基。

设 R [x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x , ...)是 R [x]的基。 R [x]的维度因此等于aleph-0。

基的扩张

如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} 是在向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中的一个线性无关集合而集合 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 是一个包含 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} 而且能够生成 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的集合，则存在 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一组基 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} ，它包含了 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} 而且是 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 的子集： L ⊆ ⊆ --> B ⊆ ⊆ --> G {\displaystyle {\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}} 。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那幺元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标

基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将： B = { e 1 , e 2 , ⋯ ⋯ --> , e n } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}} 写成有序向量组： ( e 1 , e 2 , ⋯ ⋯ --> , e n ) {\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})} 。这样的有序向量组称为 有序基 。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设 V {\displaystyle \mathrm {V} } 是在域 F {\displaystyle \mathbb {F} } 上的 n 维向量空间。在 V {\displaystyle \mathrm {V} } 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间 F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} 到 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一个选定线性同构 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } 。

证明 ：这个证明利用了 F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} 的标准基是有序基的事实。

首先假设

其中的 { e i } 1 ⩽ ⩽ --> i ⩽ ⩽ --> n {\displaystyle \{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}} 是 F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} 的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

这里的 x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + x n e n 是 F 的一个元素。不难检查出 φ 是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以 V 的有序基一一对应于线性同构 F → V 。

确定自有序基{ v i }线性映射 φ 的逆映射为 V 装备了坐标：如果对于向量 v ∈ V , φ ( v ) = ( a 1 , a 2 ,..., a n ) ∈ F ，则 a j = a j ( v )的分量是 v 的坐标，在 v = a 1 ( v ) v 1 + a 2 ( v ) v 2 + ... + a n ( v ) v n 的意义上。

从向量 v 到分量 a j ( v )的映射是从 V 到 F 的线性映射，因为 φ 是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成 V 的 对偶空间 的基，叫做 对偶基 。

概念

有时使用术语 Hamel基 （或 代数基 ）来称呼上文定义的基，这里在线性组合 a 1 v 1 +… + a n v n 中项的数目总是有限的。

在希尔伯特空间和其他巴拿赫空间中，需要处理无限多向量的线性组合。在无限维的希尔伯特空间中，相互正交的向量的集合可能永不能通过有限线性组合扩展出整个空间。所谓的正交基是通过有时无限的线性组合扩展出这个空间的相互正交的单位向量的集合。除了在有限维情况之外，这个概念不纯粹是代数的，而区别于Hamel基；它也是更一般性有用的。“无限维希尔伯特空间的正交基因此不是Hamel基”。

在拓扑向量空间中，一般的说，可以定义为无穷级数并表达这个空间的元素为其他特定元素的“无限线性组合”。其中的有限和无限组合的基，前者被叫做“Hamel基”而后者被叫做“ Schauder基 （ 英语 ： Schauder basis ） ”，对应的维度叫做 Hamel维度 和“Schauder维度”。

例子

在傅立叶级数的研究中，函数{1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... }是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数 f 满足

函数{1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... }是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数 f 是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

对于适合的（实数或复数）系数 a k , b k 。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

参见

线性代数

线性组合

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