简介

参考一个如“ X 认为 Y 喜欢 Z ”之类的关系，其实际情形如下：

上表的每一行都代表着一个事实，并给出“ X 认为 Y 喜欢 Z ”此类形式的断言。例如，第一行即表示“韵如认为柏豪喜欢佳馨”。上表表示一个在集合 P 上的关系 S，其中：

包括表中所有的人物。表中的资料则等同于如下的有序对：

若较不严谨些，通常会将 S(韵如,柏豪,佳馨) 用来指上表中第一行的同一种关系。关系 S 为“三元”关系，因为每一行都包含了“三个”项目。关系是一个以集合论中的概念定义出的数学物件（即关系为 {X,Y,Z} 的笛卡儿积的子集），包含了表中所有的讯息。因此，数学上来说，关系纯粹是个集合。

形式定义

k 元关系在数学上有两种常见的定义。

定义1 在集合 X1,…,Xk 上的关系L 是指集合的笛卡儿积的子集，写成 L ⊆ X1 × … × Xk。因此，在此定义下， k 元关系就是个k 元组的集合。

第二个定义用到数学上一个常见的习惯－说“某某为一 n 元组”即表示此一某某数学物件是由 n 组数学物件的描述来判定的。在于集合 k 上的关系 L中，会有 k+1 件事要描述，即 k 个集合加上一个这些集合笛卡儿积的子集。在此习惯下， L 可以说是一个 k+1 元组。

定义2 在集合 X1,…,Xk 上的关系L 是一个 k+1 元组 L = (X1, …, Xk, G(L)) ，其中 G(L) 是笛卡儿积X1 × … × Xk的子集，称之为 L 的“关系图”。

例子

可除性

两个正整数 n 和 m 之间“可除性”的关系是指“ n整除m ”。此一关系通常用一特殊的符号“ | ”来表示它，写成“ n|m ”来表示“ n 整除 m ”。

若要以集合来代表这二元关系，即是设正整数的集合 P = {1,2,3,…} ，然后可除性就是一个在 P上的二元关系 D ，其中 D为一包含了所有 n|m 的有序对 (n,m)。

例如，2为4的因数及6为72的因数，则可写成 2|4 和 6|72 ，或 D(2,4) 和 D(6,72) 。

共面

对三维空间内的线 L，存在一个三条线为共面的三元关系。此一关系“无法”缩减成两条线共面的二元对称关系。

换句话说， 若 P(L,M,N) 表示 线 L,M,N 共面，且 Q(L,M) 表示 线 L,M 共面，则 Q(L,M),Q(M,N) 和 Q(N,L) 不能合起来代表 P(L,M,N) 也是对的；但相反则是正确的（三条共面的线之中的一对必然也会是共面的）。其中有两个几何上的反例。

第一个是，如 x 轴、 y 轴和 z 轴之类共点（即交于同一点）的三条线。另一个则是在任一三角柱上平行的三边。

若要正确，则必须加上每对线都会相交且相交的点都不同。如此一来，每对线的共面才会意指三条线的共面。

关系的性质

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。 确定一个关系是否具有这些性质，可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余。

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。

n 元谓词

n 元谓词就是含有 n 个变量的布尔值函数。

由于上述的 n 元关系定义了 (x1, ..., xn) 属于 R 时唯一的 n 元谓词（反之亦然），关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的：

多重关系

许多事物有多个元素两两关系。例如：

1，无穷个素数都是两两互素。例如素数2,3,5,7,11，就是所有素数之间没有公共因数，我们知道有无穷的素数两两互素；

2，无穷个区域两两相连。例如，一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连，有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连，有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连，...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。

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