三维空间中的曲面

在大地线上，各点的主曲率方向均与该点上曲面法线相合。它在圆球面上为大圆弧，在平面上就是直线。在大地测量中，通常用大地线来代替法截线，作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上，每一点处测地曲率均为零的曲线。

相关定理及推论

曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。

如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面的测地线。

过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。

在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为短程线。

微分几何的测地线

在一个黎曼流形M{\displaystyle M}上，一条曲线γ γ -->:I→ → -->M{\displaystyle \gamma :I\to常微分方程合常微分方程

就称之为测地线。其中∇ ∇ -->{\displaystyle \nabla }是M{\displaystyle M列维-奇维塔联络塔联络。方程左边为曲线在流形速度加速度向量，所以方程是说测地线是在流形上加速度为零的曲线，也因此测地线必定是等速曲线。

以上方程用局部座标表示为

其中Γ Γ -->μ μ -->ν ν -->λ λ -->{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}是M{\displayst克里斯托费尔的黎曼度量的克里斯托费尔符号。

唯一性及存在性

给定流形上一点p{\displaystyle p}及点上一个非零的切向量v∈ ∈ -->TpM{\displaystyle v\in T_{p}M}，因测地线方程是二阶常微分方程，柯西－利普希茨定理指出存在区间(− − -->ϵ ϵ -->,ϵ ϵ -->){\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}，使得方程在此区间上存在唯一解

满足初值条件γ γ -->(0)=p{\displaystyle \gamma (0)=p},γ γ -->˙ ˙ -->(0)=v{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}。但因为方程是非线性的，故未必在实数域R{\displaystyle \mathbb {R} }上存在解。

从上述方程解的唯一性，可知若两条测地线经过同一点，且在此点上有相同的切向量，则这两条测地线是同一条测地线中的两部分。

设γ γ -->:[a,b]→ → -->M{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}是一条测地线，− − -->∞ ∞ --><a<0<b{\displaystyle -\infty 。如果对起点γ γ -->(0){\displaystyle \gamma (0)}及起点的切向量γ γ -->˙ ˙ -->(0){\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}改变得足够细微，则存在新的测地线符合新的初值条件，且仍然定义在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上。这个结果用严格语言叙述为：

从这结果可以得出，如果γ γ -->{\displaystyle \gamma }是定义在有界开区间I{\displaystyle I}上的测地线，对它的起点和此点上的切向量改变得足够细微的话，则存在一条新的测地线满足新的初值条件，并且定义在接近整条I{\displaystyle I}上。

如果对于任意初始条件γ γ -->(0)=p{\displaystyle \gamma (0)=p},γ γ -->˙ ˙ -->(0)=v{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}都存在一条定义在整条实数线上的测地线γ γ -->:R→ → -->M{\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}，则称M{\display霍普夫le M}是测地完备的。霍普夫－里诺定理指出，若M{\displaystyle M}是一个完备的度量空间，则M{\displaystyle M}是测地完备的。（M{\displaystyle M}上两点间的度量，最大下界两点的所有曲线的长度的最大下界。）

局部最短性

在黎曼流形M{\displaystyle M}上连接两点之间的等速曲线，若其长度等于两点间的距离，即这曲线是两点间最短的曲线，那么这曲线必定是测地线。然而，连接两点间的测地线未必最短。比如在单位球面上，一条长度大于π π -->{\displaystyle \pi }的测地线，不是连接这条线的两端点间的最短曲线。因为球面上的测地线都是大圆的弧，若测地线长度大于π π -->{\displaystyle \pi }，那么测地线所在大圆上的另一条弧，其长度会小于π π -->{\displaystyle \pi }，是连接这两点的最短测地线。

连接两点间最短测地线，也未必唯一。比如单位球面上两个对径点（即球面和一条直径的两个交点）之间，有无数条最短测地线相连。然而，流形上任何一点都存在一个邻域，使得该点和邻域上其他点之间，都有唯一的最短测地线相连（不计测地线的速度）。因此流形上任何测地线都是局部最短的。

对流形上一点p{\displaystyle p}，一条从p{\displaystyle p}出发的单位速的测地线γ γ -->(t){\displaystyle \gamma (t)}，考虑所有的t≥ ≥ -->0{\displaystyle t\geq 0}使得d(p,γ γ -->(t))=t{\displaystyle d(p,\gamma (t))=t}，即是说γ γ -->([0,t]){\displaystyle \gamma ([0,t])}是一条最短测地线。这集合可以是[0,t0]{\displaystyle [0,t_{0}]}或[0,∞ ∞ -->){\displaystyle [0,\infty )}。若是前者，称γ γ -->(t0){\displaystyle \gamma (t_{0})}是p{\displaystyle p}沿着γ γ -->{\displaystyle \gamma }的割点，那么对所有t([0,t]){\displaystyle \gamma ([0,t])}是从p{\displaystyle p}点到γ γ -->(t){\displaystyle \gamma (t)}的唯一最短测地线；若是后者，则对所有t≥ ≥ -->0{\displaystyle t\geq 0},γ γ -->([0,t]){\displaystyle \gamma ([0,t])}都是p{\displaystyle p}点到γ γ -->(t){\displaystyle \gamma (t)}的唯一最短测地线。p{\displaystyle p}沿着全部从p{\displaystyle p}出发的测地线的割点组成的集合，称为p{\displaystyle p}的割迹Cp(M){\displaystyle C_{p}(M)}。

度量几何的测地线

一般的度量空间X{\displaystyle X}中，测地线γ γ -->{\displaystyle \gamma 区间从区间I⊂ ⊂ -->R{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }的映射，使得对任何t0∈ ∈ -->I{\displaystyle t_{0}\in I}，都存在区间J⊂ ⊂ -->I{\displaystyle J\subset I}，使得J{\displaystyle J}包含t0{\displaystyle t_{0}}在I{\displaystyle I}中一个开邻域，并且对任何t1,t2∈ ∈ -->J{\displaystyle t_{1},t_{2}\in J}有

换言之，γ γ -->(J){\displaystyle \gamma (J)}是连接其上任何两点的一条最短路线。

如果一个度量空间任何两点都有测地线相连，称为测地度量空间。

度量空间上的测地线的性质，和微分几何有些不同：

两条测地线即使有部分线段重合，却未必属于同一条测地线。例如在R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}上定义度量

设γ γ -->1{\displaystyle \gamma _{1}}是从（0,0）到（1,0）再到（1,1）的两条线段所组成，而γ γ -->2{\displaystyle \gamma _{2}}是从（0,0）到（2,0）的线段。这两条都是测地线，且在（0,0）到（1,0）一段重合，但明显不属同一条测地线，因为这两条线过了点（1,0）之后就分开。

一个测地度量空间中，在一点上未必存在一个邻域，使得该点其邻域其他点都有唯一的测地线。在上例的度量空间中，两点间如果两个座标都不同，则有无限多条测地线连接两点。例如从（0,0）到（2,1），以下都是连接这两点的最短测地线：任取一数t0∈ ∈ -->[0,2]{\displaystyle t_{0}\in [0,2]}，

就是先向右走到(t0,0){\displaystyle (t_{0},0)}，再向上走到(t0,1){\displaystyle (t_{0},1)}，再向右走到（2,1）。在任何一点的任何邻域中，和该点两个座标都不同的点有无数个，所以从该点到这些点之间，最短测地线都不是唯一。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。