例子

若

则

基本评注

如果A的元素是实数，那么A与A的转置A相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。

元素为aij{\displaystyle a_{ij}}的方块矩阵A称为：

埃尔米特矩阵或自伴矩阵，如果A = A，也就是说，aij=aji∗ ∗ -->{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{*}} ；

斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果A = −A，也就是说，aij=− − -->aji∗ ∗ -->{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}^{*}} ；

正规矩阵，如果AA = AA。

即使A不是方块矩阵，AA和AA仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵。

性质

(A + B) = A + B。

(rA) = rA，其中r为复数，r为r的复共轭。

(AB) = BA，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。

(A) = A

若A为方阵，则det(A) = (det A)，且tr(A) = (tr A)

A是可逆矩阵，当且仅当A可逆，且有(A) = (A).

A的特征值是A的特征值的复共轭。

= ，其中A为m行n列的矩阵，复向量x为n维列向量，复向量y为m维列向量，为复数的内积。

推广

从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把A视为从希尔伯特空间C到C的线性变换，则矩阵A对应于A的自伴算子。于是，希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。

还可以进行另外一种推广：假设A是一个从复值向量空间V到W的线性映射，那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置，并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。

埃尔米特伴随

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