公式

等比公式

根据等比数列的定义可得：

通项公式

可以任意定义一个等比数列 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} ，

这个等比数列从第一项起分别是 a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ ⋯ --> , a n , ⋯ ⋯ --> {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots } ，公比为 q {\displaystyle q} ，则有：

以此可推得，等比数列 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} 的通项公式为：

求和公式

对上所定义的等比数列 a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ ⋯ --> , a n , ⋯ ⋯ --> {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots } 的所有项累加。

a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ ⋯ --> + a n + ⋯ ⋯ --> {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+\cdots } 称为等比数列的和或 等比级数 ，记为 S n {\displaystyle S_{n}} 。

如果该等比数列的公比为 q {\displaystyle q} ，则有：

先将两边同乘以公比 q ，有：

(1)式减去(2)式，有：

然后进行讨论：当 q ≠ ≠ --> 1 {\displaystyle q\neq 1} 时， S n = a 1 ( 1 − − --> q n ) 1 − − --> q {\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}} ；而当 q = 1 {\displaystyle q=1} 时，由(3)式无法解得通项公式。

但可以发现，此时：

综上所述，等比数列 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} 的求和公式为：

经过推导，可以得到另一个求和公式：当 q ≠ ≠ --> 1 {\displaystyle q\neq 1} 时，

当 − − --> 1 < q < 1 {\displaystyle -1 时，等比数列无限项之和

由于当 − − --> 1 < q < 1 {\displaystyle -1 及 n {\displaystyle n} 的值不断增加时， q n {\displaystyle q^{n}} 的值便会不断减少而且趋于 0 {\displaystyle 0} ，因此无限项之和为：

性质

如果数列 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} 是等比数列，那么有以下几个性质：

a n = a m q n − − --> m ( m , n ∈ ∈ --> N , n > m ) {\displaystyle a_{n}=a_{m}q^{n-m}(m,n\in \mathbb {N} ,n>m)}

对于 m , n , s , t ∈ ∈ --> N {\displaystyle m,n,s,t\in \mathbb {N} } ，若 m + n = s + t {\displaystyle m+n=s+t} ，则 a m a n = a s a t {\displaystyle a_{m}a_{n}=a_{s}a_{t}} 。

等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} 中有三项 a i , a j , a k {\displaystyle a_{i},a_{j},a_{k}} ，其中 j − − --> i = k − − --> j ≥ ≥ --> 1 {\displaystyle j-i=k-j\geq 1} ，则有 a j 2 = a i a k {\displaystyle a_{j}^{2}=a_{i}a_{k}} 。

在原等比数列中，每隔 k {\displaystyle k} 项 ( k ∈ ∈ --> N ) {\displaystyle (k\in \mathbb {N} )} 取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。

若 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ⋯ ⋯ --> {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6}\cdots } 成等比数列，则 a 1 a 2 , a 3 a 4 , a 5 a 6 ⋯ ⋯ --> {\displaystyle a_{1}a_{2},a_{3}a_{4},a_{5}a_{6}\cdots } 也成等比数列。

参见

等差数列

级数

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