例子

欲计算 a 0 = 24和 g 0 = 6的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

然后进行迭代：

继续计算，可得出以下的值：

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

性质

M( x , y )是一个介于 x 和 y 的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果 r > 0，则M( rx , ry ) = r M( x , y )。

M( x , y )还可以写为如下形式：

其中 K ( x )是第一类完全椭圆积分。

1和2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

存在性的证明

由算术几何不等式可得

因此

这意味着 { g n } {\displaystyle \{g_{n}\}} 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（ x , y {\displaystyle x,y} 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 g {\displaystyle g} 使得:

然而，我们又有:

从而:

证毕。

关于积分表达式的证明

该证明由高斯首次提出 。 令

将积分变量替换为 θ θ --> ′ {\displaystyle \theta "} , 其中

于是可得

因此，我们有

最后一个等式可由 I ( z , z ) = π π --> / ( 2 z ) {\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)} 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：

参考文献

来源

Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-XMR1641658

MathWorld上 Arithmetic-Geometric mean 的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

参见

算术平均数

几何平均数

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