定义

以下是代数整数四种相互等价的定义。设K为代数数域（有理数域Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的有限扩张）。根据本原元定理，K可以写成K=Q(θ θ -->){\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}的形式。其中θ θ -->∈ ∈ -->C{\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }是某个代数数。设有α α -->∈ ∈ -->K{\displaystyle \alpha \in K}，则α是代数整数当且仅当以下命题之一成立：

存在整系数多项式：P=Xm+a1Xm− − -->1+⋯ ⋯ -->+am− − -->1X+am∈ ∈ -->Z[X]{\displaystyle P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]}，使得P(α α -->)=0{\displaystyle P(\alpha )=0}。

α在Q{\displaystyle \mathbb {Q} }上的极小首一多项式是整系数多项式。

Z[α α -->]{\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}是有限生成的Z{\displaystyle \mathbb {Z} }-模。

存在有限生成的Z{\displaystyle \mathbb {Z} }-子模：M⊂ ⊂ -->C{\displaystyle M\subset \mathbb {C} }，使得α α -->M⊆ ⊆ -->M{\displaystyle \alpha M\subseteq M}。

例子

有理数域Q{\displaystyle \mathbb {Q} }中的代数整数就是整数。换句话说，A{\displaystyle \mathbb {A} }和Q{\displaystyle \mathbb {Q} }交集是整数环Z{\displaystyle \mathbb {Z} }。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式

一个给定的代数数域K{\displaystyle \mathbb {K} }与A{\displaystyle \mathbb {A} }的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作OK{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域：K=Q(2){\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}，那么对应的整数环中不仅有整数，还有2{\displaystyle {\sqrt {2}}}，因为2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是首一多项式x2− − -->2{\displaystyle \scriptstyle x^{2}-2}的根。

22{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}不是代数整数。这是因为22{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}在有理数域上的最小多项式是2x2− − -->1{\displaystyle \scriptstyle 2x^{2}-1}，不是一个首一多项式。

1+52{\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}是一个代数整数。它是多项式x2− − -->x− − -->1{\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1}的根。一般来说，如果整数d{\displaystyle \scriptstyle d}除以4余1，那么1+d2{\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}}也是代数整数，因为它是多项式x2− − -->x− − -->d− − -->14{\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}}的根。

给定素数p，p次单位根ζ ζ -->p{\displaystyle \zeta _{p}}也是一个代数整数，因为是首一多项式xp− − -->1=0{\displaystyle \displaystyle x^{p}-1=0}的根。分圆域，p次分圆域Q(ζ ζ -->p){\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}的整数环就是Z[ζ ζ -->p]{\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}。

性质

两个代数整数的和是一个代数整数，他们的差及积也是。这时它们满足的首一多项式可以用结式表达；但他们的商就不一定是代数整数。

一个以代数整数为系数的首一多项式的根也是代数整数。换句话说，代数整数构成一个环，并且在任何代数扩张下是整闭的。

任何从整数出发，透过和、积与开方得到的数都是代数整数，但并非所有代数整数都可依此构造，例如，大多数的五次代数整数都无法透过这种方式构造。

代数整数是裴蜀整环。

参见

整性

高斯整数

艾森斯坦整数

单位根

狄利克雷单位理论

基本单位 (数论)

参考来源

Daniel A. Marcus, Number Fields（数域）, third edition, Springer-Verlag, 1977

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