哈尔测度

一个拓扑群G{\displaystyle G}被称作局部紧的，当且仅当其单位元e有个紧邻域。明白地说，这代表存在一个包含e的开集V{\displaystyle V}，使得它在G{\displaystyle G}里的闭包V¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {V}}}是紧的。局部紧群G{\displaystyle G}最值得注意的性质之一是它带有一个唯一测度然测度，称作哈尔测度，这使得我们可以一致地为G{\displaystyle G}中“够好”的子集测量大小；在此“够好”的明确意义是博雷尔集，即由紧集生成的σ-代数。更明确地说，局部紧群G{\displaystyle G}的一个右哈尔测度是指一个有限博雷尔测度尔测度μ，并在μ μ -->(xg)=μ μ -->(x)(∀ ∀ -->g∈ ∈ -->G){\displaystyle \mu (xg)=\mu (x)\;(\forall g\in G)}的意义下满足“右不变性”；此测度尚须满足一些正则性（详见主条目哈尔测度）。任两个右不变哈尔测度至多差一个正的比例常数。准此要领，亦可定义左不变哈尔测度，当G{\displaystyle G}是阿贝尔群时两者符应。

此测度让我们得以定义G{\displaystyle G}上的复数值博雷尔函数的积分，特别是可以考虑相关的Lp{\displaystyle L^{p}}空间：

以下是局部紧阿贝尔群的若干例子：

Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}，配上向量加法。

正实数配上乘法。此群透过指数及对数映射同构于R{\displaystyle \mathbb {R} }。

任意赋以离散拓扑的有限阿贝尔群。根据有限阿贝尔群的结构定理，任何这样的群都是循环群的直积。

整数Z{\displaystyle \mathbb {Z} }配上加法，并赋予离散拓扑。

圆群T{\displaystyle \mathbb {T} }。这是绝对值为一的复数在乘法下构成的群。我们有同构T≅ ≅ -->R/Z{\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }。

p进数配上加法及其p进拓扑。

对偶群

若G{\displaystyle G}是局部紧阿贝尔群，G{\displaystyle G}的一个特征是一个从G{\displaystyle G}到圆群T{\displaystyle \mathbb {T} }的群同态；特征在逐点乘法下构成一个群，一个特征的逆元是它的复共轭。可证明所有G{\displaystyle G}上的特征在紧-开拓扑（即：以紧集上的一致收敛定义收敛性）下构成一个局部紧阿贝尔群，称作对偶群，记为G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}或G∧ ∧ -->{\displaystyle G^{\wedge }}。若G{\displaystyle G}可分，则G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}可度量化，对一般的G{\displaystyle G}则不尽然。

定理：二次对偶G∧ ∧ -->∧ ∧ -->{\displaystyle G^{\wedge \wedge }}与G{\displaystyle G}有个自然同构。

在此，“自然”或“典范”同构意谓一个“自然地”定义的映射G→ → -->G∧ ∧ -->∧ ∧ -->{\displaystyle G\rightarrow G^{\wedge \wedge }}，要点是它在范畴中满足函子性（详见条目范畴论）。举例明之：任何有限阿贝尔群都同构于其对偶群，但并不存在典范同构。

定理中的自然同构定义如下：

换言之，我们借着将一个元素x∈ ∈ -->G{\displaystyle x\in G}在每个G{\displaystyle G}的特征上求值，得到一个G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}上的特征。

例子

在整数对加法形成的无穷循环群Z{\displaystyle \mathbb {Z} } (配上离散拓扑）上，设χ为一特征，则χ χ -->(n)=χ χ -->(1)n{\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}，因此χ决定于χ(1)的值；反之，给定一个α α -->∈ ∈ -->T{\displaystyle \alpha \in \mathbb {T} }，必存在特征χ使得χ(1)=α，由此得到群同构Z∧ ∧ -->→ → -->∼ ∼ -->T{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\wedge }{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\mathbb {T} }。此外也容易验证Z∧ ∧ -->{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\wedge }}上的紧-开拓扑对应到T{\displaystyle \mathbb {T} }诱导自C{\displaystyle \mathbb {C} }的拓扑。

因此，Z{\displaystyle \mathbb {Z} }的对偶群自然地同构于T{\displaystyle \mathbb {T} }。

反之，T{\displaystyle \mathbb {T} }上的特征皆形如z↦ ↦ -->zn{\displaystyle z\mapsto z^{n}}，其中n是整数。由于T{\displaystyle \mathbb {T} }是紧的，其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出，对应的不外是Z{\displaystyle \mathbb {Z} }上的离散拓扑。因此T{\displaystyle \mathbb {T} }的对偶群自然地同构于Z{\displaystyle \mathbb {Z} }。

实数对加法构成的群R{\displaystyle \mathbb {R} }同构于自身的对偶群；R{\displaystyle \mathbb {R} }上的特征皆形如r↦ ↦ -->eir{\displaystyle r\mapsto e^{ir}}，其中r是实数。借着这些对偶性，下节傅里叶傅里叶变换将符应于R{\displaystyle \mathbb {R} }上的古典版本。

傅里叶变换

对于一个局部紧阿贝尔群G{\displaystyle G}，傅里叶变换的值域是其对偶群。设f∈ ∈ -->L1(G){\displaystyle f\in L^{1}(G)}，则其傅里叶变换是下述G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}上的函数：

其中μ是G{\displaystyle G}上的一个哈尔测度。可以证明f^ ^ -->{\displaystyle {\hat {f}}}是G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}连续函数有界连续函数，且在无穷远处趋近零。同理可给出g∈ ∈ -->L1(G^ ^ -->){\displaystyle g\in L^{1}({\hat {G}})}的傅里叶逆变换

其中ν是G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}上的一个哈尔测度。

群代数

局部紧阿贝尔群G{\displaystyle G}上的可积函数构成一个代数，其乘法由卷积给出：设f,g∈ ∈ -->L1(G){\displaystyle f,g\in L^{1}(G)}，则卷积定义为

定理：巴拿赫空间L1(G){\displaystyle L^{1}(G)}在卷积下构成一个交换结合代数。

此代数称作G{\displaystyle G}的群代数。根据L1(G){\displaystyle L^{1}(G)}的完备性，它是个巴拿赫空间。巴拿赫代数L1(G){\displaystyle L^{1}(G)}一般没有乘法单位元，除非G{\displaystyle G}离散。但它有个近似单位元，这是个网，以一有向集I{\displaystyle I}为索引，写作(ei)i∈ ∈ -->I{\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}并满足下述性质。

傅里叶变换将卷积映至逐点乘法，即：

特别是，对任意G{\displaystyle G}上的特征χ，可在群代数上定义一积性线性泛函

群代数的重要性质之一，在于这些线性泛函穷竭了群代数上所有非平凡（即：非恒零）的积性线性泛函。见文献中Loomis著作的第34节。

普朗歇尔暨傅里叶反转定理

如前所述，一个局部紧阿贝尔群G{\displaystyle G}的对偶群依然是局部紧阿贝尔群，因而带有一族哈尔测度，彼此至多差一个比例常数。

定理：对偶群上存在一个哈尔测度，使得傅里叶变换在紧支集连续函数空间上的限制为等距同构。它可以唯一地延拓为一个幺正算子。

其中ν ν -->{\displaystyle \nu }是对偶群上既取的哈尔测度。

注意到：若G{\displaystyle G}非紧，L1(G){\displaystyle L^{1}(G)}并不包含L2(G){\displaystyle L^{2}(G)}，所以我们须诉诸一些技巧，例如限制于一个稠密子空间。

依循Loomis书中术语，我们称一对G{\displaystyle G}与其对偶群上的哈尔测度(μ μ -->,ν ν -->){\displaystyle (\mu ,\nu )}是相系的，当且仅当傅里叶反转公式成立。傅里叶变换之幺正性遂蕴含：对所有G{\displaystyle G}上的连续紧支集复数值函数f{\displaystyle f}都有

在平方可积函数空间上，我们考虑的傅里叶变换是透过上述幺正延拓得到的算子。对偶群本身也有个傅里叶逆变换；它可以刻划为傅里叶变换之逆（或其伴随算子，因为傅里叶变换是幺正的），这是以下傅里叶反转公式的内涵。

定理：取定一对相系哈尔测度(μ μ -->,ν ν -->){\displaystyle (\mu ,\nu )}；对于傅里叶变换在紧支集连续函数上的限制，其伴随算子是傅里叶逆变换：

在G=Rn{\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}的情形，我们有G^ ^ -->=Rn{\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n}}，若取下述相系的哈尔测度，则回到傅里叶变换的古典定义：

在G=T{\displaystyle G=\mathbb {T} }的情形，对偶群G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}自然同构于Z{\displaystyle \mathbb {Z} }，而上述算子F{\displaystyle F}归于计算周期函数的傅里叶系数。

若G{\displaystyle G}为有限群，则得到离散傅里叶变换。此情形易直接证明。

玻尔紧化

庞特里亚金对偶定理的重要应用之一是下述刻划：

定理：一个局部紧阿贝尔群G{\displaystyle G}为紧，当且仅当对偶群G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}为离散。另一方面，G{\displaystyle G}为离散当且仅当G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}为紧。

对任何拓扑群，无论局部紧或交换与否，皆可定义玻尔紧化。上述对偶性的用处之一是刻划局部紧阿贝尔群的玻尔紧化。对一个局部紧阿贝尔群G{\displaystyle G}，考虑拓扑群H^ ^ -->{\displaystyle {\hat {H}}}，其中H{\displaystyle H}就群结构而言是G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}，但带离散拓扑。由于下述包含映射

是个连续同态，其对偶同态

是个映至一个紧群的同态；可以证明它满足定义玻尔紧化的泛性质，因而H^ ^ -->{\displaystyle {\hat {H}}}确为G{\displaystyle G}的玻尔紧化。

范畴论观点

函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。

对偶群的构造G↦ ↦ -->G^ ^ -->{\displaystyle G\mapsto {\hat {G}}}给出一个对偶函子LCA→ → -->LCAop{\displaystyle \mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} ^{\mathrm {op} }}。其二次迭代G↦ ↦ -->G∧ ∧ -->∧ ∧ -->{\displaystyle G\mapsto G^{\wedge \wedge }}遂给出函子LCA→ → -->LCA{\displaystyle \mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} }。

定理：对偶函子是一个范畴等价。

定理：对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。

此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶（特别是实与复向量空间）。

庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若R{\displaystyle R}是一个环，而G{\displaystyle G}是个左R{\displaystyle R}-模，则从对偶性可推知离散左R{\displaystyle R}-模与紧右R{\displaystyle R}-模对偶。LCA里的自同态环End(G){\displaystyle \mathrm {End} (G)}依对偶性对应至其反环（即：环的乘法次序交换）。举例明之：取G=Z{\displaystyle G=\mathbb {Z} }，则G^ ^ -->=T{\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {T} }；前者满足End(G)=Z{\displaystyle \mathrm {End} (G)=\mathbb {Z} }，对后者亦然。

非交换理论

对非交换群G{\displaystyle G}没有类似的理论，因为此时对偶的对象G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}={G{\displaystyle G}的不可约表示之同构类}不只有一维表示，因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理；但它缺乏与调和分析的联系，因而无法处理关于G^ ^ -->{\displaystyle {\hat {G}}}上的普朗歇尔测度的问题。

某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。

源流

庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的，并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen（1935年）与安德鲁·韦伊（1953年）改进为局部紧阿贝尔群。

文献

下列书籍（可在大部分大学图书馆找到）都有局部紧阿贝尔群、对偶定理与傅里叶变换的相关章节。Dixmier的著作有非交换调和分析的材料，也有英译本。

Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.

Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953

Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962

Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。

Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.

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