斯特藩-玻尔兹曼定律的推导

斯特藩-玻尔兹曼定律能够方便地通过对黑体表面各点的辐射谱强度应用普朗克黑体辐射定律，再将结果在辐射进入的半球形空间表面以及所有可能辐射频率进行积分得到。

式中Ω0黑体表面一点的辐射进入的半球形空间表面（以辐射点为球心），I(ν ν -->,T){\displaystyle I(\nu ,T)}为在温度T时黑体表面的单位面积在单位时间立体角立体角上辐射出的频率为ν ν -->{\displaystyle \nu }的电磁波能量。式中包括了一个余弦因子，因为黑体辐射几何上严格符合朗伯余弦定律（Lambert"s cosine law）。将几何微元关系dΩ=sin(θ)dθdφ代入上式并积分得：

（对频率的玻色积分项的计算方法参见条目多重对数函数）

日面温度

提出本定律后斯特藩利用它估算了太阳的表面温度。当时法国人查理·索里特（Charles Soret，1854年–1904年）用实验测得地球上接收到的太阳发出的能量通量密度约为一块加热金属板表面辐射的能量通量密度的29倍。将适当大小的圆形金属版放置在测量仪器前方适当的距离，则可以认为测量仪器接收到的金属板发出辐射的角度与太阳光照射的角度基本相同。索里特测得金属板的表面温度为1900°C到2000 °C之间。斯特藩猜测太阳照射到地球的能量有1/3被地球大气层吸收（当时尚未有关于大气层对电磁辐射的吸收的公认测量数据），所以算得实际接收到的太阳辐射强度应为金属板辐射强度的29×3/2 = 43.5倍。金属板的表面温度斯特藩取索里特猜测的中间值1950 °C，即2200 K。由于43.5 = 2.57，所以根据上面的定律，太阳表面的绝对温度应为金属板表面绝对温度的2.57倍，即5430 °C或5700 K（现代精确测量结果为5780 K）。这是历史上对日面温度的第一个较精确的测量结果。在此之前人们对日面温度的数值曾经众说纷纭，测量结果从1800 °C到13,000,000 °C都有。通过其他方法测量的日面温度与该结果的吻合验证了本定律的正确性。

参考文献

Stefan, J.: Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur, in: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391-428.

Boltzmann, L.: Ableitung des Stefan"schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, in: Annalen der Physik und Chemie, Bd. 22 (1884), S. 291-294

汪志诚编，《热力学·统计物理》（第三版），高等教育出版社，北京，1993，第87页~第91页，ISBN 7-04-004360-2

吴强、郭光灿编，《光学》，中国科学技术大学出版社，合肥，1996，第380页~第381页，ISBN 7-312-00762-7/O·173

参见

维恩位移定律

瑞利-金斯定律

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