力偶
简单力偶
最简单的力偶是由两个大小相同、方向相反、作用线相异的作用力组成,又称为“简单力偶”。与作用力同线的直线称为这作用力的“作用线”。作用于物体,力偶会给与物体一种旋转效应或力偶矩。采用国际单位制,力偶的单位是牛顿 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 米。
假设施加于一物体的两个作用线相异的作用力分别为 F {\displaystyle \mathbf {F} \,} 、 − − --> F {\displaystyle -\mathbf {F} \,} ,则其力偶矩 τ τ --> {\displaystyle \tau \,} 的大小,以方程表达为
其中, d {\displaystyle d\,} 是两个作用力之间的垂直距离。
力偶矩 τ τ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,} 的方向垂直于包含这力偶的平面。
假设,两个大小相等,方向相反的作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 与 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} , 分别施加于一个物体的位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 与 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} ,则合力等于零:
而所产生的力矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,} 以方程表达为
其中, r 12 = r 1 − − --> r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\,} 是两个位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 与 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} 之间的相对位置。
特别注意,由于 r 12 {\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,} 是相对位置,不随参考点的改变而改变,从物体上任何参考点观测的力偶矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,} 都相等。因此,力偶矩是个自由矢量,作用于物体的任何一点,效果都一样。
力偶矩与参考点无关
在计算作用力的力矩时,必须先选择某参考点P,然后才能计算作用力对于参考点P的力矩。通常,若参考点P的位置改变,力矩也会改变。但是,力偶的力偶矩独立于参考点P,对于任意参考点,力偶矩都相同。换句话说,力偶矩是一个自由矢量。这理论称为 伐里农第二力矩定理 ( Varignon"s Second Moment Theorem ) 。
证明:
假设分别施加于位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,} 、 r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,} 的作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} ,共同形成一个力偶,则这两个作用力的合力为
这两个作用力对于原点O的力矩 M O {\displaystyle \mathbf {M} _{O}\,} 为
设定参考点P的位置为 r {\displaystyle \mathbf {r} \,} 。作用力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,} 对于点P的力矩 M P {\displaystyle \mathbf {M} _{P}\,} 为
所以,力偶矩与参考点无关:
应用
在机械工程学里,力偶是个很有用的概念。以下列出几个实例:
当用手扭转螺丝起子时,螺丝起子会感受到力偶。
当用螺丝起子扭转螺丝钉时,螺丝钉会感受到力偶。
一个在水里旋转的螺旋桨推进器,会感受到由水阻力产生的力偶。
在一个均匀电场里,电偶极子会感受到电场的力偶。
参考文献
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