渐近线

不失一般性可假设分子、分母互质。若存在 r > 0 {\displaystyle r>0} ，使得 ( p x + q ) r {\displaystyle (px+q)^{r}} 是分母 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 的因子，则有理函数存在垂直渐近线 x = − − --> q / p {\displaystyle x=-q/p} 。

若 m < n {\displaystyle m ，有水平渐近线 y = 0 {\displaystyle y=0} 。

若 m = n {\displaystyle m=n} ，有水平渐近线 y = a m b m {\displaystyle y={\frac {a_{m}}{b_{m}}}} 。

若 m = n + 1 {\displaystyle m=n+1} ，有斜渐近线 y = a m b n x + b n ∗ ∗ --> a m − − --> 1 − − --> b n − − --> 1 ∗ ∗ --> a m b n 2 {\displaystyle y={\frac {a_{m}}{b_{n}}}x+{\frac {b_{n}*a_{m-1}-b_{n-1}*a_{m}}{{b_{n}}^{2}}}} 。

泰勒级数

有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之，若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系，它对应的函数是有理函数。

部分分式

部分分式，又称部分分数、分项分式，是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。

有理数式可分为真分式、假分式和带分式，这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。

若有理数式 P ( x ) Q ( x ) {\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}} 的分母 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 可分解为数个多项式的积，其部分分数便是 ∑ ∑ --> A n Q ( x ) / h n ( x ) {\displaystyle \sum {\frac {A_{n}}{Q(x)/h_{n}(x)}}} ，其中 h n ( x ) {\displaystyle h_{n}(x)} 是 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 的因子， A n {\displaystyle A_{n}} 是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。

例子

分拆 x 3 − − --> 5 x + 88 x 2 + 3 x − − --> 28 {\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}}

分子的次数是3，分母的是2，所以先将它转成真分式和多项式的和（即带分式）：

x − − --> 3 + 32 x + 4 x 2 + 3 x − − --> 28 {\displaystyle x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}}

因为 x 2 + 3 x − − --> 28 = ( x + 7 ) ( x − − --> 4 ) {\displaystyle x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)} ，所以

32 x + 4 x 2 + 3 x − − --> 28 = A x + 7 + B x − − --> 4 {\displaystyle {\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}={\frac {A}{x+7}}+{\frac {B}{x-4}}}

其中A和B是常数。两边乘以 x 2 + 3 x − − --> 28 {\displaystyle x^{2}+3x-28} ，得

  32 x + 4 = A ( x − − --> 4 ) + B ( x + 7 ) {\displaystyle \ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)}

即

  32 x + 4 = ( A + B ) x + ( 7 B − − --> 4 A ) {\displaystyle \ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)}

比较系数，得

  A + B = 32 {\displaystyle \ A+B=32}

  7 B − − --> 4 A = 4 {\displaystyle \ 7B-4A=4}

解得 A = 20 , B = 12 {\displaystyle A=20,B=12} 。

故： x 3 − − --> 5 x + 88 x 2 + 3 x − − --> 28 = x + 20 x + 7 + 12 x − − --> 4 − − --> 3 {\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}=x+{\frac {20}{x+7}}+{\frac {12}{x-4}}-3}

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

  128 + 4 = 11 B {\displaystyle \ 128+4=11B}

  B = 12 {\displaystyle \ B=12}

当x=-7时，我们有

  − − --> 224 + 4 = − − --> 11 A {\displaystyle \ -224+4=-11A}

  A = 20 {\displaystyle \ A=20}

应用

伸缩和

复分析

拉普拉斯变换

积分

部分分数

在计算有理数式的积分时，部分分数的方法很有用，因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。

分母为1次多项式：求 ∫ ∫ --> 1 a x + b d x {\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx} 。

设 u = a x + b {\displaystyle u=ax+b} ：

原式变为

分母次数为2：求 ∫ ∫ --> d x + e a x 2 + b x + c d x {\displaystyle \int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c}}dx} 。

若多项式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 可分解为两个一次多项式的积（即 b 2 − − --> 4 a c ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle b^{2}-4ac\geq 0} ），则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解，则将它配方，再用各种替代法解决。

例如：

因为

考虑

将分子分解，以便应用上面的替换：

左边：

另一边：

代入

另一种可行的代入方法是：

∫ ∫ --> 10 / 9 ( x − − --> 4 3 ) 2 + 1 d x = 10 / 9 ∫ ∫ --> 1 sec 2 ⁡ ⁡ --> θ θ --> 3 sec 2 ⁡ ⁡ --> θ θ --> d θ θ --> = 10 3 arctan ⁡ ⁡ --> ( x − − --> 4 3 ) + C {\displaystyle \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C}

奥斯特洛格拉德斯基方法

奥斯特洛格拉德斯基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky"s Method）是这样的：

设求积的有理函数为 P Q {\displaystyle {\frac {P}{Q}}} ，其中 P , Q {\displaystyle P,Q} 是多项式， deg ⁡ ⁡ --> ( P ) ( Q ) {\displaystyle \deg(P) （ P {\displaystyle P} 的次数少于 Q {\displaystyle Q} ）。设 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 为Q的导数Q"和Q的最大公因数， Q 2 = Q Q 1 {\displaystyle Q_{2}={\frac {Q}{Q_{1}}}} 。则有：

其中 P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} 为多项式， deg ⁡ ⁡ --> ( P i ) ( Q i ) {\displaystyle \deg(P_{i}) 。

应用例子

求 ∫ ∫ --> x d x ( x − − --> 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 {\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}} 。

Q = ( x − − --> 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 {\displaystyle Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}}

Q ′ = 2 ( x − − --> 1 ) ( x + 1 ) 3 + 3 ( x − − --> 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 = ( x − − --> 1 ) ( x + 1 ) 2 ( 5 x − − --> 1 ) {\displaystyle Q"=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)}

Q 1 = g c d ( Q , Q ′ ) = ( x − − --> 1 ) ( x + 1 ) 2 {\displaystyle Q_{1}=gcd(Q,Q")=(x-1)(x+1)^{2}}

Q 2 = Q / Q 1 = ( x − − --> 1 ) ( x + 1 ) {\displaystyle Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)}

设 P 1 = A x 2 + B x + C , P 2 = D x + E {\displaystyle P_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P_{2}=Dx+E}

两边取导数：

通分母，右边的分子为：

比较分子的多项式的系数，得 A = B = E = − − --> 0.125 , C = − − --> 0.25 , D = 0 {\displaystyle A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0} 。于是有

后者可用部分分数的方法求得。

证明

两边乘以 Q {\displaystyle Q}

由于 Q 1 ′ Q 2 = Q ′ − − --> Q 1 Q 2 ′ {\displaystyle Q"_{1}Q_{2}=Q"-Q_{1}Q"_{2}} ，而 Q ′ {\displaystyle Q"} 和 Q 1 Q 2 ′ {\displaystyle Q_{1}Q"_{2}} 都是 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 的倍数，所以 Q 1 ′ Q 2 P 1 Q 1 {\displaystyle {\frac {Q"_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}} 是多项式。

比较两边多项式的次数：

deg ⁡ ⁡ --> ( P ) ≤ ≤ --> deg ⁡ ⁡ --> ( Q ) − − --> 1 {\displaystyle \deg(P)\leq \deg(Q)-1}

deg ⁡ ⁡ --> ( P 1 ′ Q 2 ≤ ≤ --> ( deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ) − − --> 1 ) + ( deg ⁡ ⁡ --> ( Q ) − − --> deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ) ) = deg ⁡ ⁡ --> ( Q ) − − --> 1 {\displaystyle \deg(P"_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1}

deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ′ Q 2 P 1 Q 1 ) ≤ ≤ --> ( d e g ( Q 1 ) − − --> 1 ) + ( deg ⁡ ⁡ --> ( Q ) − − --> deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ) ) + ( deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ) − − --> 1 ) − − --> deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ) = deg ⁡ ⁡ --> ( Q ) − − --> 2 {\displaystyle \deg({\frac {Q"_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2}

deg ⁡ ⁡ --> ( P 2 Q 1 ) ≤ ≤ --> ( deg ⁡ ⁡ --> ( Q ) − − --> deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ) − − --> 1 ) + deg ⁡ ⁡ --> ( Q 1 ) = deg ⁡ ⁡ --> ( Q ) − − --> 1 {\displaystyle \deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1}

因此 P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} 有解。

Hermite方法

应用

Padé迫近法

插值

参考

en:Partial fraction，de:Rationale Funktion

Ostrogradsky"s method

/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf

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