定义

设 A {\displaystyle A} 为一交换环， A {\displaystyle A} 上的 代数 （或称 A {\displaystyle A} -代数 ）是下述结构：

集合 E {\displaystyle E} 是个 A {\displaystyle A} -模。

指定 E {\displaystyle E} 上的一个二元运算，通常以乘法符号表示：

此二元运算是 双线性 的，换言之：

最常考虑的情形是 A {\displaystyle A} 是一个域，这时称 域代数 ，一些作者也将代数定义成域上的代数。

若 E {\displaystyle E} 上的乘法满换性 x y = y x {\displaystyle xy=yx} ，则称之为 可交换代数 ；若 E {\displaystyle E} 上的乘法满足结合律 x ( y z ) = ( x y ) z {\displaystyle x(yz)=(xy)z} ，则称之为 结合代数 ，详阅主条目结合代数。交换代数学中考虑的代数均属可交换的结合代数。

代数同态

设 E , F {\displaystyle E,F} 是 A {\displaystyle A} -代数， A {\displaystyle A} -模间的同态 ϕ ϕ --> : E → → --> F {\displaystyle \phi :E\rightarrow F} 被称作 A {\displaystyle A} -代数间的 同态 ，当且仅当它满足 ∀ ∀ --> x , y ∈ ∈ --> E , ϕ ϕ --> ( x y ) = ϕ ϕ --> ( x ) ϕ ϕ --> ( y ) {\displaystyle \forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)} 。因此所有 A {\dis范畴aystyle A}同构-代数构成一个范畴，也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态。

结构常数

设 E {\displaystyle E} 是 A {\displaystyle A} -代数。当 E {\displaystyle E} 是个自由的有限秩 A {\displaystyle A} -模（当 A {\displaystyle A} 为域且 dim A ⁡ ⁡ --> E {\displaystyle \dim _{A}E 时自动成立）时，可选定一组基底 e 1 , … … --> , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} ，并将乘法写作

此时常数 c i j k ∈ ∈ --> A {\displaystyle c_{ij}^{k}\in A} 称作 E {\displaystyle E} 对基底 e 1 , … … --> , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} 的 结构常数 。

例子

任何环都是结合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -代数；更一般地说，若 A 0 → → --> A {\displaystyle A_{0}\rightarrow A} 为环同态，则 A {\displaystyle A} 借此可自然地视作结合 A 0 {\displaystyle A_{0}} -代数。

矩阵环对矩阵乘法是结合代数，但乘法非交换。

同样取矩阵环，并假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为 { X , Y } = ( X Y + Y X ) / 2 {\displaystyle \{X,Y\}=(XY+YX)/2} ，此时得到交换、非结合的代数。这是约当代数的例子

欧氏空间 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 对其外积构成一个非交换、非结合的 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代数。这是李代数的例子。

四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} } 是一个非交换的结合 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代数。

八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 是一个非交换、非结合的 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代数。

除了交换结合代数外，一般常研究的几类代数包括李代数、Clifford代数、约当代数等等。近来一些物理学家运用的几何代数也是一例。

代数上也可以赋予拓扑结构，并要求代数运算是连续的；最突出的例子是巴拿赫代数，这是现代泛函分析的基石之一。

参见

结合代数

代数同态

李代数

文献

Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6

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