数学表述

本征态

假设，物理量O{\displaystyle O}是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符O^ ^ -->{\displaystyle {\hat {O}}}，可能有很多不同的本征值Oi{\displaystyle O_{i}}与对应的本征态|ei⟩ ⟩ -->{\displaystyle |e_{i}\rangle }，这些本征态|ei⟩ ⟩ -->,i=1, 2, 3, ⋯ ⋯ -->,n{\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}，形成了具有正交归一性的基底：

其中，δ δ -->ij{\displaystyle \delta _{ij}}是克罗内克函数。

任何描述这量子系统的量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }，都可以用这基底的本征态表示为

其中，ci=⟨ ⟨ -->ei|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }是复系数，是在量子态|ei⟩ ⟩ -->{\displaystyle |e_{i}\rangle }里找到量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }的概率幅。

假设，量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }等于这些本征态之中的一个本征态|ek⟩ ⟩ -->{\displaystyle |e_{k}\rangle }，则对于这量子系统，测量可观察量O{\displaystyle O}，得到的结果必定等与本征值Ok{\displaystyle O_{k}}，概率为1，量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }是“确定态”。

统计诠释

根据统计诠释，对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值，测量结果只能是其中一个本征值，而且，每一个本征值出现的机会呈概率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态，并且，在之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是这本征态。

假设，某量子系统的量子态为

测量这个动作会将量子系统的量子态改变为算符O^ ^ -->{\displaystyle {\hat {O}}}的一个本征态。假设量子态改变为本征态|ei⟩ ⟩ -->{\displaystyle |e_{i}\rangle }，则改变为这本征态的概率为pi=|ci|2{\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}}，测量结果是本征值Oi{\displaystyle O_{i}}，得到这本征值的概率也为pi{\displaystyle p_{i}}。在测量之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是本征态|ei⟩ ⟩ -->{\displaystyle |e_{i}\rangle }。

将算符O^ ^ -->{\displaystyle {\hat {O}}}作用于量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }，会形成新量子态|ϕ ϕ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\phi \rangle }：

从左边乘以量子态⟨ ⟨ -->ψ ψ -->|{\displaystyle \langle \psi |}，经过一番运算，可以得到

所以，每一个本征值与其概率的乘积，所有乘积的代数和就是可观察量O{\displaystyle O}的期望值：

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实数，因此，可观察量O{\displaystyle O}的期望值是实数：

对于任意量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }，这关系都成立：

根据伴随算符的定义，假设O^ ^ -->† † -->{\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}是O^ ^ -->{\displaystyle {\hat {O}}}的伴随算符，则⟨ ⟨ -->ψ ψ -->|O^ ^ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->∗ ∗ -->=⟨ ⟨ -->ψ ψ -->|O^ ^ -->† † -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle }。因此，

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。

不相容可观察量

假若两种可观察量的对易算符不等于0，则称这两种可观察量为“不相容可观察量”：

其中，A^ ^ -->{\displaystyle {\hat {A}}}、B^ ^ -->{\displaystyle {\hat {B}}}分别是可观察量A{\displaystyle A}、B{\displaystyle B}的算符。

这两种算符A^ ^ -->{\displaystyle {\hat {A}}}与B^ ^ -->{\displaystyle {\hat {B}}}绝对不会有共同的基底。一般而言，A^ ^ -->{\displaystyle {\hat {A}}}的本征态与B^ ^ -->{\displaystyle {\hat {B}}}的本征态不同假设量子系统的量子态为|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }。对于算符A^ ^ -->{\displaystyle {\hat {A}}}，所有本征值为ai{\displaystyle a_{i}}的本征态|α α -->i⟩ ⟩ -->,i=1, 2, 3, ⋯ ⋯ -->,n{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}，形成一个基底。量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }可以表示为这组基底本征态的线性组合：

其中，ci=⟨ ⟨ -->α α -->i|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle }是复系数，是在量子态|α α -->i⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }里找到量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }的概率幅。

对于算符B^ ^ -->{\displaystyle {\hat {B}}}，所有本征值为bi{\displaystyle b_{i}}的本征态|β β -->i⟩ ⟩ -->,i=1, 2, 3, ⋯ ⋯ -->,n{\displaystyle |\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}，形成了另外一个基底。量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }可以表示为这组基底本征态的线性组合：

其中，di=⟨ ⟨ -->β β -->i|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle }是复系数，是在量子态|β β -->i⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\beta _{i}\rangle }里找到量子态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }的概率幅。

对于量子系统的可观察量A{\displaystyle A}做测量，可能得到的结果是各种本征态|α α -->i⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }的本征值ai{\displaystyle a_{i}}，获得这些不同结果的机会具有概率性概率分布达为概率分布，结果为ai{\displaystyle a_{i}}的概率是|ci|2{\displaystyle |c_{i}|^{2}}。

假设测量的结果是本征值aj{\displaystyle a_{j}}，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态|α α -->j⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }。假若立刻再测量可观察量A{\displaystyle A}，由于量子态仍旧是本征态|α α -->j⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }，所得到的测量值是本征值ai{\displaystyle a_{i}}概率为1。假若立刻再对本征态|α α -->j⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }测量可观察量B{\displaystyle B}，则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值bk{\displaystyle b_{k}}，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态|β β -->k⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\beta _{k}\rangle }。

根据不确定性原理，

设定χ χ -->=|⟨ ⟨ -->[A^ ^ -->,B^ ^ -->]⟩ ⟩ -->2i|{\displaystyle \chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|}。假设，A{\displaystyle A}与B{\displaystyle B}是两个不相容可观察量，则χ χ -->>0{\displaystyle \chi >0}。而A{\displaystyle A}的不确定性与B{\displaystyle B}的不确定性的乘积Δ Δ -->A Δ Δ -->B{\displaystyle \Delta A\ \Delta B}，必定大于或等于χ χ -->{\displaystyle \chi }。

实例

为了具体计算位置与动量的期望值，可以将量子态表现于位置空间，以位置空间的波函数来表示，使用对应的代数算符。

位置与动量

位置x{\displaystyle x}，动量p{\displaystyle p}都是可观察量，它们的算符都是厄米算符：

角动量

在三维空间里，角动量算符的x-分量L^ ^ -->x{\displaystyle {\hat {L}}_{x}}是厄米算符。因为

其中，y{\displaystyle y}与z{\displaystyle z}分别是位置的y-分量与z-分量，py{\displaystyle p_{y}}与pz{\displaystyle p_{z}}分别是动量的y-分量与z-分量。

类似地，角动量算符的y-分量L^ ^ -->y{\displaystyle {\hat {L}}_{y}}也是厄米算符。

参阅

位置算符

动量算符

角动量算符

哈密顿算符

注释

^通常这句话成立，但也存在有例外。思考氢原子的角量子数为零（ℓ ℓ -->=0 {\displaystyle \ell =0\ }）的量子态，它是Lx{\displaystyle L_{x}}、Ly{\displaystyle L_{y}}、Lz{\displaystyle L_{z}}的本征态，本征值都为零，而这三个自伴算符都互不对易，它们对应的可观察量彼此之间都是不相容可观察量。

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