挠率张量

设 M 是切丛上带有联络 ∇ 的流形。 挠率张量 （有时也称为嘉当（挠率）张量）是一个矢量值 2-形式，定义在矢量场 X 于 Y 上

这里 [ X , Y ] 是两个矢量场的李括号。由莱布尼兹法则，对任何光滑函数 f 有 T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y )。所以 T 是一个张量，尽管是用非张量的共变导数定义的：它给出了切矢量上的一个 2 形式，但共变导数只对矢量场有定义。

曲率和比安基恒等式

联络 ∇ 的曲率张量是一个映射 T M ∧ T M → End(T M ) ，定义在矢量场 X , Y , 与 Z 上

注意，对位于一点的矢量，这个定义与这个矢量如何扩张成一个矢量场的方式无关（即定义了一个张量，类似于挠率）。

比安基恒等式 联系了曲率和挠率。 将 X , Y 与 Z 的循环求和记为 S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} ，例如

那么下面的公式成立

1. 比安基第一恒等式 ：

2. 比安基第二恒等式 ：

挠率张量的分量

挠率张量在切丛的局部截面的基( e 1 , ..., e n ) 下可写成分量 T c a b {\displaystyle T^{c}{}_{ab}} 。令 X = e i ， Y = e j ，引入交换子系数 γ ij e k := [ e i , e j ]。那么挠率的分量是

如果基是和乐的，则李括号变为零， γ γ --> k i j = 0 {\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0} ，从而 T k i j = 2 Γ Γ --> k [ i j ] {\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}} 。特别地（见下），测地线方对称定联络的对称部分，而挠率张量确定反对称部分。

挠率形式

挠率形式 ，是挠率的另一种刻画，适用于 M 的标架丛F M 。这个主丛装备有一个联络形式ω，一个 gl ( n )-值的 1-形式将竖直矢量映到 gl ( n ) 中的右作用的生成元，且通过在 gl ( n ) 上的伴随表示等变纠缠于 GL( n ) 在 F M 的切丛上的右作用。标架丛也带有一个典范 1 形式 θ，取值于 R ，定义在标架 u ∈ F x M （视为一个线性函数 u : R → T x M ）为

这里 π : F M → M 是主丛的投影映射。那么挠率形式是

等价地， Θ = Dθ，这里 D 是由联络确定的外共变导数。

挠率形式是一个取值于 R 的（水平）扭曲形式，意味着在 g ∈ Gl( n ) 的右作用下等变：

这里 g 通过它在 R 上的基本表示作用在左边。

曲率形式与比安基恒等式

曲率形式是 gl ( n )-值 2-形式

这里， D 同样表示外共变导数。用曲率形式和挠率形式表示，相应的比安基恒等式为：

D Θ Θ --> = Ω Ω --> ∧ ∧ --> θ θ --> {\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }

D Ω Ω --> = 0. {\displaystyle D\Omega =0.\,}

进一步，我们可以从曲率形式和挠率形式复原曲率和挠率。在 F x M 中的点 u ，我们有

这里 u : R → T x M 是确定纤维中标架的函数，且矢量通过 π 的提升与选取无关，因为曲率和挠率形式是水平的（它们在不确定的竖直矢量上为 0）。

标架中的曲率形式

挠率形式可用底流形 M 上的联络形式，在切丛的一个特殊的标架 ( e 1 ,..., e n ) 下写出。联络形式表述这些截面的外共变导数

切丛的焊接形式（关于这个标架）是 e i 的对偶基θ ∈ T M ，所以 θ ( e j ) = δ j （克罗内克函数）

那么挠率 2-形式有分量

在最右边的表达式中，

是挠率张量的标架分量，由首先的定义给出。

容易证明 Θ 像张量一个变化：如果另一个标架

对某个可逆矩阵值函数 ( g i )，那么

换句话说，Θ 是 (1,2) 型张量（一个反变、两个共变指标）。

做为另一种选择，焊接形式能用无标架形式刻画为 M 上的 T M -值 1形式θ，在对偶同构 End(T M ) ≈ T M ⊗ T M 下对应于切丛的恒等同态。则挠率 2-形式是

的一个截面，由

给出。这里 D 是外共变导数（更多细节参见联络形式）。

不可约分解

挠率张量可以分解为两个不可约部分：不含迹的部分与包含迹的部分。用指标记法， T 的迹为

不含迹的部分为

这里 δ j 是克罗内克函数。

本质上有，

T 的迹 tr T ，是如下定义的 T M 中一个元素。对固定的任何矢量 X ∈ T M ， T 定义了一个 Hom(T M , T M ) 中一个元素 T ( X )，通过

那么 (tr T )( X ) 定义为这个同态的迹。这就是，

T 不含迹的部分为

这里 ι 表示内乘。

作为比安基恒等式的推论，1-形式 tr T 是一个闭1-形式：

这里 d 是外导数。

特征描述与解释

这一节中总是假设： M 是微分流形，∇ 是 M 切丛上的共变导数除非另外指明。

仿射进化

假设 x t 是 M 上一条曲线。 x t 的仿射进化（development）定义为 T x 0 M 中惟一的曲线 C t 使得

这里

是与 ∇ 关联的平行移动。

特别地，如果 x t 是一个闭环路，则 C t 是否闭取决于联络的挠率。从而挠率解释为曲线的 development 的螺位错。这样，挠率与联络的和乐转移分量联系起来。相伴的曲率概念描绘了无穷小线性变换（在黎曼联络情形或为旋转）。

参考标架的扭曲

在经典曲线的微分几何中，弗莱纳公式描述了一个特别的活动标架（弗莱纳标架）沿着一条曲线怎样“扭曲”。用物理语言，挠率对应于一个假想的沿着曲线的陀螺的角动量。

带有（度量）联络的流形可类比地解释。假设一个观察者沿着这个联络下的测地线移动。这个观察者通常认为自己是在惯性参考系中，因为她没有经历过加速度。另外假设观察者携带着一个刚性直测量杆系统（一个坐标系）。每根杆都是直线段，一条测地线。假设每根杆沿着轨道都是平行移动，这些杆是沿着轨迹物理的“携带”的事实意味着是“李拖拽”或传播，所以沿着切矢量每根杆子的李导数为零。类似于弗莱纳标架上的陀螺，它们可能经受力矩（或扭力）。这个力便由挠率衡量。

更准确地，假设观察者沿着测地线 γ( t ) 移动，携带着一个测量杆。当观察者移动时，杆子扫过一个曲面。沿着这个曲面有一个自然坐标系 ( t , x )，这里 t 是由观察者确定的时间参数， x 是沿着测量杆的长度。测量杆须沿着曲线平行移动的条件为

从而，挠率由

给出。如果不是零，则杆上标出的这点（点 x =  常曲线）的轨迹为螺旋而不是测地线。它们将绕着观察者旋转。

这种挠率的解释在平行引力理论中扮演着重要的角色。平行引力理论，也称为爱因斯坦-嘉当理论，是相对论的一种替代性表述。

纤维的挠率

在材料科学中，特别是弹性理论，挠率的想法也扮演着重要的角色。其中一个问题 是藤生长的建模，专注于藤如何能绕着对象缠绕。藤自身模型化为一对相互缠绕的弹性纤维。在其能量极小状态，藤自然生长成一个螺旋状。但是藤也有可能伸长以达到广度（或长度）最大化。在此情形，藤的挠率与这对纤维的挠率有关（或等价地，链接两条纤维的带子的曲面挠率），这反映了藤的长度最大化（测地线）布局与能量最小化布局之间的差异。

挠率与涡旋

在流体力学中，挠率自然与涡线相关。

测地线与挠率的吸收

假设 γ( t ) 是 M 上一条曲线。则 γ 是一条 仿射参数化测地线 如果

对属于 γ的定义域中所有时间 t （这里点表示关于 t 求导，得到了 γ(t) 处切矢量 γ γ --> ˙ ˙ --> ( t ) {\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)} ）。每条测地线由初始 t =0 切矢量 γ γ --> ˙ ˙ --> ( 0 ) {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)} 惟一确定。

联络的挠率的一个运用涉及到联络的测地波浪（ geodesic spray ）：粗略地讲为所有仿射参数化测地线。

用测地波浪将联络分类时，不同挠率不能区分开来：

两个联络 ∇ 与 ∇′ 具有相同的仿射参数化测地线（即相同的测地波浪），只在挠率有区别。

更准确地，如果 X 与 Y 是 p ∈ M 的一对切矢量，那么令

是两个联络的差，用 X 与 Y 从 p 处的任意扩张计算。由莱布尼兹乘积法则，我们看出 Δ 事实上与 X 和 Y 如何扩张无关（所以定义了 M 上一个张量）。设 S 与 A 分别为 Δ 的对称与交替部分：

则

A ( X , Y ) = 1 2 ( T ( X , Y ) − − --> T ′ ( X , Y ) ) {\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T"(X,Y)\right)} 是挠率张量之差。

∇ 与 ∇′ 定义了相同的仿射参数化测地线族当且仅当 S ( X , Y ) = 0。

换句话说，两个联络之差的对称部分决定了它们是否具有相同的参数化测地线，然而差的斜对称部分由这两个联络的相对挠率决定。另一个推论是

给定任何仿射联络 ∇，存在惟一一个无挠联络 ∇′ 具有共同的仿射参数化测地线。

这是黎曼几何基本定理到（也许无度量）仿射联络的一个推广。选出从属于一族参数化测地线惟一的联络也称为 挠率的吸收 ，这是嘉当等价方法的一个使用之处。

另见

曲率张量

Contortion tensor

列维-奇维塔联络

曲线的挠率

参考文献

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Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713

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