不动点定理
分析领域
在巴拿赫不动点定理中给出了一般准则:如果满足该准则,保证迭代函数程序可以产生一个固定点。
布劳尔不动点定理的结果说:任何封闭单位球的连续函数在n维欧几里德空间本身必须有一个不动点,但它并没有说明如何找到不动点(见:斯苯纳引理)。
例如,余弦函数在[−1, 1]区间连续和画入[−1, 1]区间,故须一个不动点。描绘余弦函数图时这是清楚的;该不动点发生在余弦曲线 y=cos -->(x){\displaystyle y=\cos(x)} 与直线 y=x{\displaystyle y=x} 交点上。在数值上,不动点是x=0.73908513321516{\displaystyle x=0.73908513321516}。
代数拓扑的莱夫谢茨不动点定理(和尼尔森不动点定理)值得注意,它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。存在对博拉奇空间的概括和一般化,适用于偏微分方程理论。见:无限维空间的不动点定理。
分形压缩的拼贴定理证明,对许多图像存在一个相对较小函数的描述,当迭代适用于任何起始分形可迅速收敛在理想分形上。
离散数学和理论计算机科学领域
克纳斯特-塔斯基定理某种程度上从分析移除,而且不涉及连续函数。它指出在完全格上的任何次序保持函数都有一个不动点,甚至是一个最小不动点。见布尔巴基-维特定理。
λ演算的共同主题是找到给出λ表达式的不动点。每个λ表达式都有一个不动点,不动点组合子是一个“函数”,即输入一个λ表达式并输出该表达式的一个不动点。一个重要的不动点组合是Y组合子,它使用递归定义。
在程序语言的指称语义,一个克纳斯特-塔斯基定理的特例用于建立递归定义的语义。不动点定理虽然适用于“相同”函数(从逻辑的角度来看),但其理论发展完全不同。
递归函数的相同定义可用克莱尼递归定理在可计算性理论中给出。这些结果并不是等价的定理,克拉斯特尔-塔斯基定理是个比那用于指称语义的更强的结果。然而,它却与丘奇-图灵论题的直观含义相同:一个递归函数可描述为特定泛函的最小不动点,将函数映射至函数。
迭代函数找不动点的技术还可用在集理论;正常函数的定点引理指出任何严格递增的函数从序到序有一个(甚至有许多)不动点。
在偏序集上的每个闭包算子都有许多不动点;存在关于闭包算子的“封闭要素”,它们是闭包算子首先被定义的主要理由。
参见
阿蒂亚-鲍特不动点定理
巴拿赫不动点定理
波莱尔不动点定理
布劳尔不动点定理
卡若斯梯不动点定理
对角线引理
不动点性质
射度量空间
角谷不动点定理
克莱尼不动点定理
拓扑度理论
吉洪诺夫不动点定理
伍兹霍尔不动点定理
参考文献
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Brown, R. F. (Ed.). Fixed Point Theory and Its Applications. American Mathematical Society. 1988. ISBN 0-8218-5080-6.
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Kirk, William A.; Sims, Brailey. Handbook of Metric Fixed Point Theory. Springer-Verlag. 2001. ISBN 0-7923-7073-2.
Šaškin, Jurij A; Minachin, Viktor; Mackey, George W. Fixed Points. American Mathematical Society. 1991. ISBN 0-8218-9000-X.
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