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不动点定理

2020-10-16
出处:族谱网
作者:阿族小谱
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分析领域在巴拿赫不动点定理中给出了一般准则:如果满足该准则,保证迭代函数程序可以产生一个固定点。布劳尔不动点定理的结果说:任何封闭单位球的连续函数在n维欧几里德空间本身必须有一个不动点,但它并没有说明如何找到不动点(见:斯苯纳引理)。例如,余弦函数在[−1,1]区间连续和画入[−1,1]区间,故须一个不动点。描绘余弦函数图时这是清楚的;该不动点发生在余弦曲线y=cos⁡⁡-->(x){\displaystyley=\cos(x)}与直线y=x{\displaystyley=x}交点上。在数值上,不动点是x=0.73908513321516{\displaystylex=0.73908513321516}。代数拓扑的莱夫谢茨不动点定理(和尼尔森不动点定理)值得注意,它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。存在对博拉奇空间的概括和一般化,适用于偏微分方程理论。见:无限维空间的不动点定理。分形...

分析领域

在巴拿赫不动点定理中给出了一般准则:如果满足该准则,保证迭代函数程序可以产生一个固定点。

布劳尔不动点定理的结果说:任何封闭单位球的连续函数在n维欧几里德空间本身必须有一个不动点,但它并没有说明如何找到不动点(见:斯苯纳引理)。

例如,余弦函数在[−1, 1]区间连续和画入[−1, 1]区间,故须一个不动点。描绘余弦函数图时这是清楚的;该不动点发生在余弦曲线 y=cos⁡ ⁡ -->(x){\displaystyle y=\cos(x)} 与直线 y=x{\displaystyle y=x} 交点上。在数值上,不动点是x=0.73908513321516{\displaystyle x=0.73908513321516}。

代数拓扑的莱夫谢茨不动点定理(和尼尔森不动点定理)值得注意,它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。存在对博拉奇空间的概括和一般化,适用于偏微分方程理论。见:无限维空间的不动点定理。

分形压缩的拼贴定理证明,对许多图像存在一个相对较小函数的描述,当迭代适用于任何起始分形可迅速收敛在理想分形上。

离散数学和理论计算机科学领域

克纳斯特-塔斯基定理某种程度上从分析移除,而且不涉及连续函数。它指出在完全格上的任何次序保持函数都有一个不动点,甚至是一个最小不动点。见布尔巴基-维特定理。

λ演算的共同主题是找到给出λ表达式的不动点。每个λ表达式都有一个不动点,不动点组合子是一个“函数”,即输入一个λ表达式并输出该表达式的一个不动点。一个重要的不动点组合是Y组合子,它使用递归定义。

在程序语言的指称语义,一个克纳斯特-塔斯基定理的特例用于建立递归定义的语义。不动点定理虽然适用于“相同”函数(从逻辑的角度来看),但其理论发展完全不同。

递归函数的相同定义可用克莱尼递归定理在可计算性理论中给出。这些结果并不是等价的定理,克拉斯特尔-塔斯基定理是个比那用于指称语义的更强的结果。然而,它却与丘奇-图灵论题的直观含义相同:一个递归函数可描述为特定泛函的最小不动点,将函数映射至函数。

迭代函数找不动点的技术还可用在集理论;正常函数的定点引理指出任何严格递增的函数从序到序有一个(甚至有许多)不动点。

在偏序集上的每个闭包算子都有许多不动点;存在关于闭包算子的“封闭要素”,它们是闭包算子首先被定义的主要理由。

参见

阿蒂亚-鲍特不动点定理

巴拿赫不动点定理

波莱尔不动点定理

布劳尔不动点定理

卡若斯梯不动点定理

对角线引理

不动点性质

射度量空间

角谷不动点定理

克莱尼不动点定理

拓扑度理论

吉洪诺夫不动点定理

伍兹霍尔不动点定理

参考文献

Agarwal, Ravi P.; Meehan, Maria; O"Regan, Donal. Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-80250-4. 

Aksoy, Asuman; Khamsi, Mohamed A. Nonstandard Methods in fixed point theory. Springer Verlag. 1990. ISBN 0-387-97364-8. 

Border, Kim C. Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. 1989. ISBN 0-521-38808-2. 

Brown, R. F. (Ed.). Fixed Point Theory and Its Applications. American Mathematical Society. 1988. ISBN 0-8218-5080-6. 

Dugundji, James; Granas, Andrzej. Fixed Point Theory. Springer-Verlag. 2003. ISBN 0-387-00173-5. 

Kirk, William A.; Goebel, Kazimierz. Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge University Press. 1990. ISBN 0-521-38289-0. 

Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2. 

Kirk, William A.; Sims, Brailey. Handbook of Metric Fixed Point Theory. Springer-Verlag. 2001. ISBN 0-7923-7073-2. 

Šaškin, Jurij A; Minachin, Viktor; Mackey, George W. Fixed Points. American Mathematical Society. 1991. ISBN 0-8218-9000-X. 


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注释参考文献Hawking,Stephen&Ellis,G.F.R.TheLargeScaleStructureofSpace-Time.Cambridge:CambridgeUniversityPress.1973.ISBN0-521-09906-4.Theclassicreference.Natário,J..RelativityandSingularities-AShortIntroductionforMathematicians.arXiv:8math.DG/0603190March8.2006.SeealsoarXiv:hep-th/9409195forarelevantchapterfromTheLargeScaleStructureofSpaceTime.
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