计算

与算术中的平方根概念不同，矩阵的平方根不一定只有一个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义，只有方块矩阵才有平方根。

对角化算法

如果矩阵的系数域是代数闭域，比如说复数域C{\displaystyle \mathbb {C} }的时候，对于一个对角矩阵，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵。一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵：

其中的矩阵P是可逆的矩阵。在这种情况之下，假设矩阵D的形式是：

那么矩阵A的平方根就是：

其中的D12{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}是：

丹曼-毕福斯迭代算法

另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个n× × -->n{\displaystyle n\times n}矩阵A的平方根时，先设矩阵Y0=A{\displaystyle Y_{0}=A}，Z0=In{\displaystyle Z_{0}=I_{n}}（In{\displaystyle I_{n}}是n× × -->n{\displaystyle n\times n}的单位矩阵）。然后用以下的迭代序列计算矩阵序列(Yk)k⩾ ⩾ -->0{\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}和(Zk)k⩾ ⩾ -->0{\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}：

这样的两个序列将会收敛到两个矩阵Y{\displaystyle Y}和Z{\displaystyle Z}上。其中Y{\displaystyle Y}将会是矩阵的平方根，而Z{\displaystyle Z}将是Y{\displaystyle Y}的逆矩阵。

参见

平方根分解

置换矩阵

正定矩阵

参考来源

Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J.,Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy(PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, 22 (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015 

Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, 2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5 

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