矩阵的平方根
计算
与算术中的平方根概念不同,矩阵的平方根不一定只有一个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义,只有方块矩阵才有平方根。
对角化算法
如果矩阵的系数域是代数闭域,比如说复数域C{\displaystyle \mathbb {C} }的时候,对于一个对角矩阵,其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵。一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵:
其中的矩阵P是可逆的矩阵。在这种情况之下,假设矩阵D的形式是:
那么矩阵A的平方根就是:
其中的D12{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}是:
丹曼-毕福斯迭代算法
另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个n× × -->n{\displaystyle n\times n}矩阵A的平方根时,先设矩阵Y0=A{\displaystyle Y_{0}=A},Z0=In{\displaystyle Z_{0}=I_{n}}(In{\displaystyle I_{n}}是n× × -->n{\displaystyle n\times n}的单位矩阵)。然后用以下的迭代序列计算矩阵序列(Yk)k⩾ ⩾ -->0{\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}和(Zk)k⩾ ⩾ -->0{\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}:
这样的两个序列将会收敛到两个矩阵Y{\displaystyle Y}和Z{\displaystyle Z}上。其中Y{\displaystyle Y}将会是矩阵的平方根,而Z{\displaystyle Z}将是Y{\displaystyle Y}的逆矩阵。
参见
平方根分解
置换矩阵
正定矩阵
参考来源
Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J.,Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy(PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, 22 (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015
Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, 2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5
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