定义

群 G 的子群 N 是 正规子群 ，如果它在共轭变换下不变；就是说对于每个 N 中元素 n 和每个 G 中的元素 g ，元素 gng 仍在 N 中。我们写为

下列条件等价于子群 N 在 G 中是正规子群。其中任何一个都可以用作定义：

对于 G 中的所有 g ， gNg ⊆ N 。

对于 G 中的所有 g ， gNg = N 。

N 在 G 中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。

对于 G 中的所有 g ， gN = Ng 。

N 是 G 的若干共轭类的并集。

存在以 N 为核的 G 的群同态。

注意条件（1）逻辑上弱于条件（2），条件（3）逻辑上弱于条件（4）。为此，条件（1）和条件（3）经常用来证明 N 在 G 中是正规子群，而条件（2）和（4）用来证明 N 在 G 中是正规子群的推论。

陪集和正规子群

给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：

类似地，可以定义H关于a的右陪集：

可以证明：对于G中的两个元素a、b， ( a − − --> 1 b ∈ ∈ --> H ) ⟺ ⟺ --> ( a H ∩ ∩ --> b H ≠ ≠ --> ∅ ∅ --> ) ⟺ ⟺ --> ( a H = b H ) {\displaystyle (a^{-1}b\in H)\Longleftrightarrow (aH\cap bH\neq \varnothing )\Longleftrightarrow (aH=bH)} 。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即 a H = b H {\displaystyle aH=bH} 或者 a H ∩ ∩ --> b H = ∅ ∅ --> {\displaystyle aH\cap bH=\varnothing } 。

于是群G可以被分解成：

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：

进一步地，可以证明由 a ∼ ∼ --> b ⟺ ⟺ --> a − − --> 1 b ∈ ∈ --> H {\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H等价关系定义的关系是一个等价关系，集合中的每个等价关系都可确定一个等价类，因此每个 a H {\displaystyle aH} 是一个等价类。每个 a H {\displaystyle aH} 中含有的元素个数是相等的。

此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构：

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的 指数 。

对于一般的H，集合 { a H | a ∈ ∈ --> G } {\displaystyle \left\{aH|a\in G\right\}} 关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积 a H × × --> b H = a b H {\displaystyle aH\times bH=abH} ，但对于 a ′ ′ --> ∈ ∈ --> a H , b ′ ′ --> ∈ ∈ --> b H {\displaystyle a^{\prime }\in aH,b^{\prime }\in bH} ，不一定有 a ′ ′ --> H × × --> b ′ ′ --> H = a b H {\displaystyle a^{\prime }H\times b^{\prime }H=abH} 。群G的正规子群或不变子群H使得 { a H | a ∈ ∈ --> G } {\displaystyle \left\{aH|a\in G\right\}} 关于子集的积是这个群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的 商群 ，记作 G H {\displaystyle {\frac {G}{H}}} 。商群的目数等于H对G的指数。

例子

{e}和 G 自身总是 G 的正规子群。如果 G 只有这两个正规子群，就叫做简单群。

群G的中心是 G 的正规子群。

群G的交换子群是 G 的正规子群。

一个阿贝尔群（或交换群）的所有子群都是它的正规子群，因为显然有 gH = Hg 。不是阿贝尔群，但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群（Hamiltonian group），阶数最小的例子是四元数单位 ± ± --> 1 , ± ± --> i ± ± --> j , ± ± --> k {\displaystyle \pm 1,\pm i\pm j,\pm k} 对乘法构成的群 Q 8 {\displaystyle Q_{8}} 。

任何有限维欧几里得空间中，平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中，先旋转，平移，再作原来旋转的逆，结果是原来的平移。先做镜面对称，平移，再作原来镜面对称的逆，还是原来的平移。将平移按长度分类，就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

性质

满同态保持正规子群的性质，逆映射也是一样。

直积保持正规子群的性质。

G 的正规子群的正规子群不一定是 G 的正规子群，即是说正规子群没有传递性。但是， G 的正规子群的特征子群总是 G 的正规子群。

G 的所有2阶的子群都是正规子群。 G 中每个阶为 n 的子群都包含一个G的正规子群 K ，它对G的阶整除 n! 。特别地，当p是|G|的最小质因数时， G 的所有p阶的子群都是正规子群。

参见

群

子群

正规闭包

中心化子和正规化子

特征子群

等价类

可解群

同构基本定理

理想

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