定义

给定一个群 G ， G 的交换子群或导群： [ G , G ]、 G′ 或 G 是 G 的所有交换子所生成的子群：

类似地可以定义高阶的导群。

可以证明，如果存在自然数 n 使得 G ( n ) = e {\displaystyle G^{(n)}={e}} ，那么 G 是可解群。

商群 G / [ G , G ] {\displaystyle G/[G,G]} 是一个阿贝尔群，叫做 G 的 阿贝尔化子群 ，通常记作 G 。 G 的阿贝尔化子群就是 G 的一阶同调群。

[ G , G ] = G {\displaystyle [G,G]=G} 的群叫做 完美群 ，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质

G ′ ′ --> {\displaystyle G^{\prime }} 是 G {\displaystyle G} 的正规子群。

G 对于自同构稳定： ∀ ∀ --> ϕ ϕ --> ∈ ∈ --> A u t ( G ) , ϕ ϕ --> ( G ′ ′ --> ) = G ′ ′ --> {\displaystyle \forall \phi \in Aut(G),\phi (G^{\prime })=G^{\prime }} 。

如果H是G的子群，那么 H ′ ′ --> ⊆ ⊆ --> G ′ ′ --> {\displaystyle H^{\prime }\subseteq G^{\prime }} 。

π π --> : G 1 → → --> G 2 {\displaystyle \pi :G_{1}\to G_{2}}同态是一个满同态，那么 π π --> ( G 1 ′ ′ --> ) = G 2 ′ ′ --> {\displaystyle \pi (G_{1}^{\prime })=G_{2}^{\prime }} 。

如果H是G的正规子群，那么 G / H {\displaystyle G/H} 是交换群，当且仅当 G ′ ′ --> ⊆ ⊆ --> H {\displaystyle G^{\prime }\subseteq H} 。 证明： π π --> H : G → → --> G / H : a ↦ ↦ --> H a {\displaystyle \pi _{H}:G\to G/H:a\mapsto Ha} 是一个满同态， 所以， G / H {\displaystyle G/H} 是交换群 ⇔ ⇔ --> { e } = ( G / H ) ′ ′ --> = π π --> H ( G ′ ′ --> ) {\displaystyle \quad \Leftrightarrow \left\{e\right\}=(G/H)^{\prime }=\pi _{H}(G^{\prime })} ⇔ ⇔ --> G ′ ′ --> ⊆ ⊆ --> H e = H {\displaystyle \Leftrightarrow G^{\prime }\subseteq He=H}

G ′ ′ --> ⊆ ⊆ --> G ′ ′ --> {\displaystyle G^{\prime }\subseteq G^{\prime }} ，所以 G a b = G / G ′ ′ --> {\displaystyle G^{ab}=G/G^{\prime }} 可交换。

交换子群的例子

4次交替群 A 4 {\displaystyle A_{4}} 的交换子群是克莱因四元群 V 4 {\displaystyle V_{4}} 。

n次对称群 S n {\displaystyle S_{n}} 的交换子群是n次交替群 A n {\displaystyle A_{n}} 。

四元群 Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } 的交换子群是 {1, −1}。

参见

群

交换子

正规子群

可解群

伽罗瓦理论

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