例子

例子 ：包含三个物件的所有置换之对称群S 3 会有下面的乘法表。

这个群有六个元素，所以ord(S 3 ) = 6。以定义可知，单位元素 e 的阶为1。 s 、 t 和 w 的平方都为 e ，所以这些群元素的阶都为2。剩下的， u 和 v 的阶为3，因为 u = v 且 u = vu = e ，而 v = u 且 v = uv = e 。

阶和结构

由一个群或其内之元素的阶可以大致知道群的结构。简略地说，阶的因式分解越复杂，这个群就会越复杂。

若群 G 的阶为1，则这个群称为平凡群。给定一元素 a ，则ord( a ) = 1当且仅当 a 为其单位元素。若 G 内的每一个(非单位)元素和其逆元素相同(故 a = e )，则ord( a ) = 2且因此 G 会是个阿贝尔群，因为 ab =( bb ) ab ( aa )= b ( ba )( ba ) a = ba 。此一叙述的相反不一定为对；例如，整数同余6之(加法)循环群 Z 6 为可换的，但数字2的阶为3(2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6))。

阶两种概念之间的关系如下：若给出一个由 a 产生之子群

则

对于任一个整数 k ，会有“ a = e 当且仅当   ord( a )整除 k ”之关系。

一般来说， G 的每个子群之阶都会整除 G 的阶。更精确地来说：若 H 是 G 的一个子群，则

，其中[ G : H ]是于 G 内的 H 之指标，为一整数。此为拉格朗日定理

上述会有一个立即的结论为，一个群的每一个元素之阶都会整除此一群的阶。例如，在上面所示之对称群中，ord(S 3 ) = 6，且其内元素的阶分别为1、2或3。

下面的部分相反对有限群为真：若 d 会整除一个群 G 的阶且 d 为一个质数，则存在一个内 G 内为 d 阶的元素(这有时被称为柯西定理)。此一叙述在其阶为合数时并不成立，如克莱因四元群中即不存在一个4阶的元素。这可以用数学归纳法来证明[1]。这个定理的结论包括：一个群 G 的阶为一个质数 p 的次方当且仅当对每个在 G 内的 a ，ord( a )都是 p 的某个次方[2]。

若 a 有无限阶，则 a 的所有次方也都会有无限阶。若 a 有有限阶，则对于 a 的次方的阶会有下列的公式：

特别地是， a 和其逆元素 a 会有相同的阶。

并不存在一个将 a 和 b 的阶关连到其乘积 ab 的阶之一般公式。 a 和 b 都有着有限阶而 ab 则有着无限阶的情形还是有可能的。若 ab = ba ，则至少可知ord( ab )会整除lcm(ord( a ),ord( b ))。其结论可证明在一个有限阿贝尔群中，若 m 为所有群元素的阶之中的最大值，则每一个元素的阶都会整除 m 。

用元素的阶来计数

若 G 是一个有 n 阶的有限群，且 d 是 n 的因数，则 G 内有 d 阶的元素个数会为φ( d )的倍数，其中φ为欧拉函数，为不大于 d 且互质于 d 的正整数之个数。例如，在S 3 的例子中，φ(3) =2，且确实有恰好两个3阶的元素。这个定理对为2阶之元素没有什么有用的资讯，因为φ(2) = 1。

与同态的关系

群同态会缩减元素的阶：若 f : G → H 是一个同态，且 a 是 G 内一个有限阶的元素，则ord( f ( a ))会整除ord( a )。若 f 为单射的，则ord( f ( a )) = ord( a )。这通常可以被用来证明在两个给定之离散群中不存在(单射)同态。(例如，不存在一个非当然同态 h : S 3 → Z 5 ，因为每个在 Z 5 内除了0之外的元素都有着5阶，而不可以整除在S 3 内有1、2、3阶的元素。)更进一步的结论有共轭元素会有相同的阶。

类方程

一个关于阶的重要结论为类方程；其将有限群 G 的阶连结至其中心Z( G )的阶和其非当然共轭类的多寡：

其中 d i 为非当然共轭类的多寡；其为| G |大于1的纯因数，且会相等于某些 G 的非当然纯子群的指标。例如，S 3 的中心为只有单位元素 e 之当然群，而此方程则读做|S 3 | = 1+2+3。

公开的问题

一些有关群和其元素较深的问题包含在伯恩赛德问题里；有些的问题至今仍然未解。

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