举例

3=1.73205080⋯ ⋯ -->{\displaystyle {\sqrt {3}}=1.73205080\cdots }

log10⁡ ⁡ -->3=0.47712125⋯ ⋯ -->{\displaystyle \log _{10}3=0.47712125\cdots }

π π -->=3.141592653589793238462643383279502884⋯ ⋯ -->{\displaystyle \pi =3.141592653589793238462643383279502884\cdots }

e=2.71828182845904523536⋯ ⋯ -->{\displaystyle e=2.71828182845904523536\cdots }

2=1.41421356⋯ ⋯ -->{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots }

性质

无理数加或减有理数必得无理数。

无理数乘不等于0的有理数必得无理数。

不知是否是无理数的数

π π -->+e{\displaystyle \pi +e\,}、π π -->− − -->e{\displaystyle \pi -e\,}等，事实上，对于任何非零整数m{\displaystyle m\,}及n{\displaystyle n\,}，不知道mπ π -->+ne{\displaystyle m\pi +ne\,}是否无理数。

无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数，只有π π -->+(− − -->π π -->){\displaystyle \pi +(-\pi )}、2+3{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}等除外。

我们亦不知道2e{\displaystyle 2^{e}\,}、π π -->e{\displaystyle \pi ^{e}\,}、π π -->2{\displaystyle \pi ^{\sqrt 欧拉}}}、欧拉-马歇罗尼常数γ γ -->{\displaystyle \gamma \,}或卡塔兰常数G{\displaystyle G}是否无理数。

无理数集的特性

无理数集是不可数集（因有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是个不完备的拓扑空间，它是与所有正数数列的集拓扑同构的，当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。

无理化作连分数的表达式

选取一个正的实数ρ ρ -->{\displaystyle \rho \,}使得

经由递回处理

一些无理数的证明

证明2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是无理数

证：

假设2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是有理数，并且令2=pq{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}，pq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}是最简分数。由于2{\displaystyle {\sqrt {2}}}不是整数，所以|q|{\displaystyle \left|q\right|}≠ ≠ -->1{\displaystyle \neq 1}。

将两边平方，得到2=p2q2{\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}，

因为pq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}是最简分数，所以p2q2{\displaystyle {\frac {p^{2}}{q^{2}}}}也是最简分数。

2{\displaystyle 2}的最简分数只能够是21{\displaystyle {\frac {2}{1}}}，由此得出q=1{\displaystyle q=1}，这与|q|{\displaystyle \left|q\right|}≠ ≠ -->1{\displaystyle \neq 1}矛盾。

所以假设不成立，2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是无理数。

证明2+3{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}是无理数

证：

假设2+3=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p}是有理数，两边平方得到

5+26=p2⇒ ⇒ -->6=p2− − -->52{\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}={\frac {p^{2}-5}{2}}}

其中因为p{\displaystyle p}是有理数，所以p2− − -->52{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}也是有理数。

透过证明a{\displaystyle {\sqrt {a}}}为无理数的方法，其中a{\displaystyle {a}}为一整数

可以证明6{\displaystyle {\sqrt {6}}}是无理数

同样也推出p2− − -->52{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}是无理数

但这又和p2− − -->52{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}是有理数互相矛盾

所以2+3{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}是一无理数

证明2+3+5{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}是无理数

证：

同样，假设2+3+5=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}是有理数，两边平方后得到

10+26+210+215=p2⇒ ⇒ -->6+10+15=p2− − -->102{\displaystyle 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}-10}{2}}}，

于是6+10+15{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}}是有理数。两边再次平方，得：

31+106+610+415=(p2− − -->10)24{\displaystyle 31+10{\sqrt {6}}+6{\sqrt {10}}+4{\sqrt {15}}={\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}}，

于是56+310+215=(p2− − -->10)28− − -->312{\displaystyle 5{\sqrt {6}}+3{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}

由于6+10+15{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}}是有理数，所以

36+10+2(6+10+15)=(p2− − -->10)24− − -->312{\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}}

⇒ ⇒ -->36+10=(p2− − -->10)24− − -->312− − -->2(6+10+15){\displaystyle \Rightarrow 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}-2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})}

透过证明形如a+b{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}的数是无理数的方法，得出36+10{\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}}也是一无理数

但这结果明显和(p2− − -->10)28− − -->312{\displaystyle {\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}与2(6+10+15){\displaystyle 2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})}皆为有理数出现矛盾，故2+3+5{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}为无理数

另一种证明：

同样假设2+3+5=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}是有理数，

2+3+5=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}

⇒ ⇒ -->2+3=p− − -->5{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p-{\sqrt {5}}}，两边平方：

⇒ ⇒ -->(2+3)2=(p− − -->5)2{\displaystyle \Rightarrow ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}=(p-{\sqrt {5}})^{2}}

⇒ ⇒ -->5+26=p2+5− − -->2p5{\displaystyle \Rightarrow 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}+5-2p{\sqrt {5}}}

⇒ ⇒ -->2(6+p5)=p2{\displaystyle \Rightarrow 2({\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}})=p^{2}}

透过证明形如a+b{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}的数是无理数的方法，得出6+p5{\displaystyle {\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}}}是一无理数

也是矛盾的。

证明2+3+5+7{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}是无理数

证：

2+3+5+7=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}=p}

⇒ ⇒ -->2+3+5=p− − -->7{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p-{\sqrt {7}}}，两边平方得到：

⇒ ⇒ -->10+26+210+215=p2+7− − -->2p7{\displaystyle \Rightarrow 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}+7-2p{\sqrt {7}}}

⇒ ⇒ -->6+10+15+p7=p22− − -->32{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}}，得到6+10+15+p7{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}}为一有理数

⇒ ⇒ -->6+10+15=p22− − -->32− − -->p7{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}}，两边继续平方：

⇒ ⇒ -->(6+10+15)2=(p2− − -->32− − -->p7)2{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}\right)^{2}}

⇒ ⇒ -->(6+10+15)2=[(p2− − -->32)− − -->p7]2{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left[\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)-p{\sqrt {7}}\right]^{2}}

⇒ ⇒ -->31+260+290+2150=(p2− − -->32)2+(− − -->p7)2− − -->2× × -->p7× × -->(p2− − -->32){\displaystyle \Rightarrow 31+2{\sqrt {60}}+2{\sqrt {90}}+2{\sqrt {150}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+(-p{\sqrt {7}})^{2}-2\times {p}{\sqrt {7}}\times \left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)}

⇒ ⇒ -->31+415+610+106=(p2− − -->32)2+7p2− − -->p(2p2− − -->3)7{\displaystyle \Rightarrow 31+4{\sqrt {15}}+6{\sqrt {10}}+10{\sqrt {6}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}}

⇒ ⇒ -->210+66+p(2p2− − -->3)7=(p2− − -->32)2+7p2− − -->4(6+10+15+p7)− − -->31{\displaystyle \Rightarrow 2{\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31}

由于6+10+15+p7{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}}，p{\displaystyle p}皆为有理数

设10+66+p(2p2− − -->3)7=q=(p2− − -->32)2+7p2− − -->4(6+10+15+p7)− − -->31{\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=q=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31}，q{\displaystyle q}亦为有理数

透过证明形如a+b+c{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}的数是无理数的方法，可知10+66+p(2p2− − -->3)7{\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}}为无理数

这和q{\displaystyle q}是有理数冲突

所以得证2+3+5+7{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}为一无理数

参见

分划

丢番图逼近

3的算术平方根

5的算术平方根

超越数

第一次数学危机

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