化简后的行阶梯形矩阵

化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），如果满足额外的条件：

每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：

[10a10b10100b20001b3]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&0&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}

注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵：

[101/20b101− − -->1/30b20001b3]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&1/2&0&b_{1}\\0&1&-1/3&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}

因为第3列并不包含任何行的首项系数。

矩阵变换到列阶梯形

通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为列阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此列阶梯形矩阵的列空间与变换前的原矩阵的列空间相同。

列阶梯形的结果并不是唯一的。例如，列阶梯形乘以一个标量系数仍然是列阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的列阶梯形是唯一的。

线性方程组

一个线性方程组是列阶梯形，如果其增广矩阵是列阶梯形。类似的，一个线性方程组是简化后的列阶梯形或"规范形，如果其增广矩阵是化简后的列阶梯形。

一些示例

定义： [1a1a2a301a4a5001a6]{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&1&a_{4}&a_{5}\\0&0&1&a_{6}\end{array}}\right]}

例子： [189012001][1− − -->633010000]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&8&9\\0&1&2\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}1&-6&33\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]}

错误示例： [100− − -->8010004126][1− − -->293000001][012167001]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&-8\\0&1&0&0\\0&4&1&26\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&-29&3\\0&0&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&6&7\\0&0&1\end{array}}\right]}

注：

矩阵1：第二列的第一非零项1的下方的列项不全为零（有非零项4），见定义第二条，所以不是阶梯型矩阵。

矩阵2：全为零的行应该在非全为零行的下方，见定义第三条，所以不是阶梯型矩阵。

矩阵3：k+1行比k行的第一个非零项之前的0少，见定义第三条，所以不是阶梯型矩阵。

简化后的行阶梯形矩阵的例子： [100010001][190501700100− − -->30000132000000][0000]{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccccc}1&9&0&5&0&17\\0&0&1&0&0&-3\\0&0&0&0&1&32\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\\end{array}}\right]}

参见

高斯消元法

高斯-若尔当消元法

初等变换

参考来源

矩阵的初等行变换、阶梯形矩阵与矩阵的秩

Interactive Row Echelon Form with rational output

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