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量子力学

量子力学中，经常用到 对易关系 （ commutation relation ），即

其中； A ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {B}}} 均算符子力学的算符， [ A ^ ^ --> , B ^ ^ --> ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]} 是其对易算符，也称 交换子 。

如果上式等于零，则称 A ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {B}}} 是 对易 的，即意味着 A ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {A}}} 和 B ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {B}}} 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称 非对易 的，运算顺序不可以调换。

量子力学中， 交换子 有以下特性:

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下， x ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {x}}} 是坐标算符、 p ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {p}}} 是动量算符、 L ^ ^ --> {\displaystyle {\hat角动量算符} 是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而 δ δ --> i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克罗内克δ、 ϵ ϵ --> i j k {\displaystyle \eps列维-奇维塔符号jk}} 是列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

正则对易关系

物理学中， 正则对易关系 是正则共轭的量之间的关系，这样的量从定义可以发现：一个量是其共轭量的傅里叶变换的结果。举例来说：

上面的 x 与 p 分别为一维空间中的一点粒子的位置与动量，而 [ x , p ] = x p − − --> p x {\displaystyle [x,p]=xp-px} 为所谓 x {\displaystyle x} 与 p {\displaystyle p} 的交换算符， i {\displaystyle i}虚数单位数单位， ℏ ℏ --> {\displaystyle \hbar } 为约化普朗克常数，等于 h / 2 π π --> {\displaystyle h/2\pi } 马克斯·玻恩归功于马克斯·玻恩，海森堡式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理。

与经典力学的关系

相对于量子力学，经典物理中所有可观测量都可对易（交换），而交换算符会是零；然而仍然有类似的关系存在：需将交换子换成泊松括号，且常数 i ℏ ℏ --> {\displaystyle i\hbar } 换成 1 {\displaystyle 1} ：

这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设：一般来说，经典的观测量 f , g {\displaystyle f,g} 其量子对应项 f ^ ^ --> , g ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {f}},{\hat {g}}} 应满足

于1927年，赫曼·魏尔（Hermann Weyl）指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制，称作魏尔量子化（Weyl quantization），为了一种称作形变量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了数学途径。

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