定义给定一个环R（R通常是交换环，可以是有理数、实数或者复数等等）以及一个不定元X，则任何形同：的代数表达式叫做R上的一元多项式。其中a0,…,an是R中的元素。不定元不代表任何值，但环R上的所有运算都对它适用。在不至于混淆的情形下，一般将一元多项式简称为多项式。可以证明，两个多项式的和、差与积仍然是多项式，即多项式组成一个环R[X]，称为R上的（一元）多项式环。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式，即形同的代数表达式。其中p0(X1),p1(X1),⋯⋯-->,pn(X1){\displaystylep_{0}(X_{1}),p_{1}(X_{1}),\cdots,p_{n}(X_{1})}都是R[X1]中的元素。全体这样的表达式也构成一个环，记为R[X1,X2]。以此类推，可以定义所有m元多项式集合：R[X1,X2,...,Xm]多项式总可以表示为有限个元素的和...

定义多项式函数与多项式在初等数学与微积分中，多项式视同多项式函数，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域F2:=Z/2Z{\displaystyle\mathbb{F}_{2}:=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}上的多项式此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述P(X){\displaystyleP(X)}给出F2{\displaystyle\mathbb{F}_{2}}上的零函数，但视为F4{\displaystyle\mathbb{F}_{4}}上的多项式函数则非零；而就形式观点，只须将系数嵌入扩张域即可。形式定义于是我们采取下述定义：令R{\displaystyleR}为环。一个单变元X{\display...

定义设F为一个体，一非常数多项式在F上不可约，若其系数属于F，且无法分解成两个系数为F之非常数多项式的乘积。具整数系数（或更一般地，具唯一分解整环R内之系数）的多项式被称为在R上不可约，若该多项式为多项式环（在唯一分解整环上的多项式环也是一唯一分解整环）内的不可约元素，亦即该多项式不可逆、非零，且无法分解成两个系数在R内的不可逆多项式之乘积。另一个常用定义为，一多项式“在R上不可约”，若该多项式在R的分式环（若R为整数，即为一有理数体）上不可约。两种定义扩展了系数于一个体内之情形所给定的定义，所以在此情形下，非常数多项式系指不可逆且非零之多项式。简单的例子以下6个多项式给出了不可约的一些基本性质，以及其不可约多项式：在整数环Z{\displaystyle\mathbb{Z}}上，前三个多项式是可约的（第3个也是可约的，因为因式3在整数里不可逆），最后两个多项式则不可约。（第4个多项式则不是...

形式定义设k{\displaystylek}为一个域，A{\displaystyleA}为有限维k{\displaystylek}-代数。对任一元素αα-->∈∈-->A{\displaystyle\alpha\inA}，集合{1,αα-->,αα-->2,……-->}{\displaystyle\{1,\alpha,\alpha^{2},\ldots\}}张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系：可以假设cn=1{\displaystylec_{n}=1}，此时多项式f(X):=∑∑-->i=0nciXi{\displaystylef(X):=\sum_{i=0}^{n}c_{i}X^{i}}满足f(αα-->)=0{\displaystylef(\alpha)=0}。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为αα--&...

例子若权函数为1，区间为(-1,1)，f0(x)=1{\displaystylef_{0}(x)=1}，对应的正交多项式有：它们称为勒让德多项式。对于任意向量空间的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基，正交化的结果便是勒让德多项式。常见的正交多项式切比雪夫多项式雅可比多项式埃尔米特多项式拉盖尔多项式盖根鲍尔多项式哈恩多项式拉卡多项式查理耶多项式连续双哈恩多项式贝特曼多项式双重哈恩多项式小q-雅可比多项式本德尔·邓恩多项式威尔逊多项式Q哈恩多项式大q-雅可比多项式Q-拉盖尔多项式Q拉卡多项式梅西纳多项式克拉夫楚克多项式梅西纳-珀拉泽克多项式连续哈恩多项式连续q-哈恩多项式Q梅西纳多项式阿斯克以-威尔逊多项式Q克拉夫楚克多项式大q-拉盖尔多项式双Q克拉夫楚克多项式Q查理耶多项式泽尔尼克多项式罗杰斯-斯泽格多项式戈特利布多项式性质递归方程fn+1...