定义

戴德金整环指的是有乘法单位元素 1{\displaystyle 1}，并具备下述性质的交换诺特整环A{\displaystyle A}：

A{\displaystyle A} 不是域。

A{\displaystyle A} 的非零素理想皆为极大理想。

A{\displaystyle A} 整闭。

前两条可合并为：A{\displaystyle A} 之克鲁尔维度等于一。另一种表述方式如下：

A{\displaystyle A} 对任意极大理想之局部化为离散赋值环。

A{\displaystyle A} 的非零理想皆可逆。换言之：对任意理想 0≠ ≠ -->I⊂ ⊂ -->A{\displaystyle 0\neq I\subset A}，存在 A{\displaystyle A} 的分式环K(A){\displaystyle K(A)} 中的有限生成 A{\displaystyle A}-子模 J{\displaystyle J}，使得 I⋅ ⋅ -->J=A{\displaystyle I\cdot J=A}。

例子

主理想环与域上的多项式环皆为戴德金整环。

交换代数的一条定理断言：若 A{\displaystyle A} 是戴德金整环，K=K(A){\displaystyle K=K(A)} 为其分式域，L/K{\displaystyle L/K} 是有限扩张，则 A{\displaystyle A} 在 L{\displaystyle L} 中的整闭包也是戴德金整环。

Z{\displaystyle \mathbb {Z} } 是最基本的例子，再配合前述定理，可知数域中的代数整数环皆为戴德金整环。这是戴德金整环在代数数论中的主要应用，也是戴德金引介此概念的原始动机。

唯一分解性质

戴德金整环的分式理想定义为分式环 K(A){\displaystyle K(A)} 中形如 aI{\displaystyle aI} 之 A{\displaystyle A}-子模，其中 a∈ ∈ -->K(A)× × -->{\displaystyle a\in K(A)^{\times }} 而 I{\displaystyle I} 是 A{\displaystyle A} 中的理想。分式理想之间可以定义乘法 aI⋅ ⋅ -->bJ=abJ{\displaystyle aI\cdot bJ=abJ}，因而非零分式理想构成一个么半群，其单位元素为 A{\displaystyle A}。戴德金整环的性质保证此结构是一个群，换言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想 I{\displaystyle I} 可由某元素 a∈ ∈ -->A{\displaystyle a\in A} 生成，则称之主理想；可采类似办法定义主分式理想。

此外，戴德金整环中的分式理想有唯一分解性：任意分式理想 I{\displaystyle I} 可唯一地表成

其中 p{\displaystyle {\mathfrak {p}}} 过有限个 A{\displaystyle A} 的素理想，rp∈ ∈ -->Z{\displaystyle r_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {Z} }。I{\displaystyle I} 是理想当且仅当 ∀ ∀ -->prp≥ ≥ -->0{\displaystyle \forall {\mathfrak {p}}\;r_{\mathfrak {p}}\geq 0}。

类群

在一般的数域 K{\displaystyle K} 上，代数整数未必能唯一地表成素数的乘积，但可唯一表成素理想的乘积。在所有理想中，仅有主理想对应到“真正”的代数整数。此时重要的不变量是理想类群与类数，它们量度了理想与主理想的差距：

可证明理想类群总是有限交换群。

文献

Bourbaki, Nicolas (1972), Commutative Algebra, Addison-Wesley

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